13.2 Базовый подход к поиску общего решения дифференциального уравнения с помощью рядов

Пусть необходимо найти решение у(х) задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: Ищем у(х) в виде ряда Тейлора:

 (30.14)

Значения известны, поэтому определяется

сразу Для нахождения следующих коэффициен-

тов ряда (30.14) необходимо брать последовательно производные от   и подставлять в них известные уже значения предыдущих производных.

Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши

у(х) ищем в виде  Имеем:

Таким образом,

 Изложенный метод применим для приближенного решения уравнений любого порядка

13.5 Базовый подход к решению задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью операционного исчисления

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x).  Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены.  Отсюда: и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).

 

13.6 Базовый подход к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем.  Обозначим  изображения для  - компонентами вектор-функций  являются изображения соответствующих компонент вектор-функций  . Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:  , где E - единичная матрица,  - обратная матрица к матрице  .

Тогда искомое решение задачи Коши   является оригиналом для  .

14 Вопросы по теме «понятие статистики»

1 4.1 Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Вероятностное пространство — это тройка   (иногда обрамляемая угловыми скобками:  ), где

•  — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

•  — сигма-алгебра подмножеств  , называемых (случайными) событиями;

•  — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что  .

[править]Замечания

• Элементарные события (элементы  ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

• Каждое случайное событие (элемент  ) — это подмножество  . Говорят, что в результате экспериментапроизошло случайное событие  , если (элементарный) исход эксперимента является элементом  . Требование, что   является сигма-алгеброй подмножеств  , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятностидополнения любого события.

14.2 Стати́стика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.

Слово «статистика» происходит от латинского status — состояние дел^[1]. В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Готфрид Ахенваль в 1746 году, предложив заменить название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет вёлся намного раньше: проводилисьпереписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учетимущества граждан в Древнем Риме и т. п^[2].

Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных.

14.3

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю

P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятиеплотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

 (5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки:  Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.