9.2 Косинус-преобразование Фурье

Преобразование фурье

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям интегральной теоремы Дирихле и является четной функцией, тогда коэффициент в (16)  . Представим интеграл Фурье (15) в виде:

                                                                                                          (19)

                                                                                                      (20)

Функция F( ), определенная формулой (19), называется косинусом -преобразованием Фурье для f(x).

Формула (20) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F(a ) находить f(x).

Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a ) = 0, тогда формулы (21) и (22) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье

                                                                                                         (21)

                                                                                                         (22)

Пусть функция f(x) представима интегралом Фурье в комплексной форме (17), а коэффициент С(a ), определенный формулой (18) называется спектральной функцией . Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде

                                                                          (23)

то функция S(a ) также называется спектральной и S(a ) = 2p C(a ).

Преобразованием Фурье называется функция  определенная формулой (24)

,                                                                                                      (24)

а функция f(x) , определенная формулой (25) называется обратным преобразованием Фурье

.                                                                                                      (25)

Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем

(  также называется спектральной функцией).

Если функция f(x) – оригинал с показателем роста  , то функция g(x), определенная формулой  , где   называется затухающим оригиналом. Тогда для функции g(x) существует и преобразование Фурье и преобразование Лапласа и они связаны между собой формулой

.                                                                                                         (26)

Пример 1.

Для функции   найти косинус преобразование Фурье.

Решение

Тогда косинус - преобразование Фурье функции имеет вид

Пример 2.

Найти обратное преобразование Фурье для функции 

Решение.

9.3 Синус-преобразование Фурье

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

 ,     (4)

а для нечётных функций

 .     (5)

В общем случае имеет место формула

 . 

10 . Вопросы по теме «преобразование лаплпса».

10.1 Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию   комплексного переменного (изображение) с функцией   вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

10.4/10.5/ 10,6/ 10,7/10.8/ 10,9/10,10

http://math.volchenko.com/Lectures/OC%20Orig.pdf

10.3

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной  , называется функция   комплексной переменной  ^[1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

[править]Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного  , называется функция  вещественной переменной, такая что:

где   — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции   участвуют значения  .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом: