11.9 Линейные дифференциальные уравнения второго и высшего порядка Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение инеоднородное уравнение.
Однородное
ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет
следующий вид:
,
где 
и 
–
константы (числа), а в правой части
– строго ноль.
Неоднородное
ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет
вид:
,
где
и
–
константы, а 
–
функция, зависящая только
от «икс».
В простейшем случае функция
может
быть числом, отличным
от нуля.
Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!
Кроме
того, чтобы научиться решать неоднородные
уравнения необходимо уметь
решать однородные уравнения. По этой
причине сначала рассмотрим алгоритм
решения линейного однородного уравнения
второго порядка:
Для
того чтобы решить данное ДУ, нужно
составить так называемое характеристическое
уравнение:
По
какому принципу составлено характеристическое
уравнение, отчётливо видно:
вместо
второй производной записываем 
;
вместо
первой производной записываем просто
«лямбду»;
вместо функции
ничего
не записываем.
– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.
Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное
однородное уравнение третьего порядка
имеет следующий вид:
,
где 
–
константы.
Для данного уравнения
тоже нужно составить характеристическое
уравнение и уравнение и найти его корни.
Характеристическое уравнение, как
многие догадались, выглядит так:
,
и оно в
любом случае имеет ровно
три корня.
Пусть,
например, все корни действительны и
различны: 
,
тогда общее решение запишется следующим
образом:
Если
один корень действительный 
,
а два других – сопряженные комплексные 
,
то общее решение записываем так:
Особый
случай, когда все три корня кратны
(одинаковы). Рассмотрим простейшие
однородное ДУ 3-го порядка с одиноким
папашей: 
.
Характеристическое уравнение 
имеет
три совпавших нулевых корня 
.
Общее решение записываем так:
Если
характеристическое уравнение
имеет,
например, три кратных корня 
,
то общее решение, соответственно,
такое:
12 Вопросы по теме «линейные диф-ные уравнения и системы с постоянными коэф-ми»
12.3 Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений
Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.5 из пособия [5].
Алгоритм метода следующий:
1) находим фундаментальную систему решений y1,y2,...,ynсоответствующего однородного уравнения;
2) ищем решение неоднородного уравнения в виде
y(x)=C1(x)y1+C2(x)y2+...+Cn(x)yn=∑j=1nCj(x)yj, |
где C1(x),C2(x),...,Cn(x)–функции, подлежащие определению; для нахождения функций C′j(x)составляем систему алгебраических уравнений
{∑j=1nC′j(x)yj=0, ∑j=1nC′j(x)y′j=0, ................................∑j=1nC′j(x)yj(n−1)=b(x)an(x), an(x)≠0. |
Для n=2, то есть для уравнения второго порядка, эта система уравнений приобретает вид
{C′1y1+C′2y2=0, C′1y′1+C′2y′2=b(x)a2(x), |
а для n=3система записывается в виде
{C′1y1+C′2y2+C′3y3=0, C′1y′1+C′2y′2+C′3y′3=0, C′1y″1+C′2y″2+C′3y″3=b(x)a3(x). |
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
12.4 Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части ƒ(х) уравнения (5.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
Случай
1. Правая
часть (5.10) имеет вид
где
а є R, Рn(х)
- многочлен степени n. Уравнение (5.10)
запишется в виде
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
где
r - число, равное кратности а как корня
характеристического уравнения 
(т.е.
r - число, показывающее, сколько раз а
является корнем уравнения 
-
многочлен степени n, записанный с
неопределенными коэффициентами
Аi (i=l,2,...,n).
а)
Пусть а не является корнем характеристического
уравнения 
т.
е.
Следовательно,
После
подстановки функции у* и ее производных
в уравнение (5.11), сокращения на
,
получим:
Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, А1,..., Аn.
б)
Пусть а является однократным (простым)
корнем характеристического уравнения 
В
этом случае искать решение в форме
нельзя,
т. к. 
и
уравнение (5.13) принимает вид
В
левой части - многочлен степени (n-1), в
правой части - многочлен степени n. Чтобы
получить тождество многочленов в решении
у*, нужно иметь многочлен степени (n+1).
Поэтому частное решение у* следует
искать в виде
(в
равенстве (5.12) положить r=1).
в)
Пусть а является двукратным корнем
характеристического уравнения k2+рк+q=0,
т. е. а=k1=k2.
В этом случае а2+ра+q=0
и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает
вид
Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде
(в равенстве (5.12) положить r=2).
Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид
где Рn(х) и Qm(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде
где
r - число, равное кратности а+βi как корня
характеристического уравнения 
-
многочлены степени l с неопределенными
коэффициентами, l - наивысшая степень
многочленов Рn(х)
и 
Замечания.
1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.
2.
Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда
3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.
12.2
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Это уравнение
,
в
правой части которого стоит непрерывная
функция 
.
Проявляется общая закономерность: любое
решение такого неоднородного уравнения
может быть записана как сумма фиксированного
решения этого уравнения и некоторого
решения однородного уравнения с той же
левой частью. Символически
yо.н.=yч.н. + yо.о.,
где yо.н. - общее решение неоднородного уравнения, а yч.н. - его частное решение.
12.3
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где
—
искомая
функция,
—
её 
-тая производная,
—
фиксированные
числа,
—
заданная
функция (когда 
,
имеем линейное однородное уравнение,
иначе — линейное неоднородное
уравнение).Уравнение порядка n
Однородное уравнение:
интегрируется следующим образом:
Пусть
—
все различные корни характеристического
многочлена,
являющегося левой частьюхарактеристического
уравнения
кратностей
,
соответственно, 
.Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуютфундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней
можно
заменить соответствующие пары комплексных
функций в фундаментальной системе
решений парами вещественных функций
вида
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.