8.7 Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

                  (21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

              (22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.

8.9 Комплексная формула для интеграла фурье

омплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом.  (Романовский стр.33)

Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π)  с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:

                         (27)

где

Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.

8.10Представление интеграла Фурье для четных и нечетных функций

9.Вопросы по теме «истоки операционного исчисленияы на примере преобразования Фурье»

9.1Преобразование Фурье (прямое и обратное) общего вида

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие —гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции   вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

Преобразование Фурье

 

Соотношение

называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты   –   называется Фурье-изображением или частотным спектром функции  . Спектр характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал  . Операция преобразования Фурье математически записывается следующим образом:

где   - символ прямого преобразования Фурье.

Спектры в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части:

На рис. 1 представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.

Рис. 1

Отметим следующие особенности спектра непериодической функции  :

1. Спектр непериодической функции времени непрерывен;

2. Область допустимых значений аргумента спектра

3. Действительная часть спектра – четная функция частоты, мнимая часть спектра – нечетная функция, что позволяет использовать одну половину спектра

Преобразование Фурье обратимо, то есть, зная Фурье-изображение, можно определить исходную функцию – оригинал. Соотношение обратного преобразования Фурье имеет следующий вид:

или в сокращенной записи  , где   - символ обратного преобразования Фурье. Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда:

• функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;

• функция абсолютно интегрируема, то есть

Обратное преобразование Фурье возможно только в том случае, если все полюсы   - левые.

Рассмотрим примеры определения спектра временных функций.

Пример:

Найдем частотный спектр дельта-функции.

,

так как при 

,

а при     и

.

В итоге,   имеет единичный, равномерный и не зависящий от частоты действительный спектр, а мнимая часть спектра будет равна нулю (см. рис.2).

Рис. 2

Пример:

Найдем частотный спектр единичной ступенчатой функции.

Для этой функции не выполняется требование абсолютной интегрируемости, так как

Поэтому  Фурье-изображения не имеет.