3.3 Неявна різницева схема

Для апроксимації диференціального рівняння використовуємо нижній шаблон рисунка 3.1. Тобто, вважаємо, що вираз (3.2) апроксимує похідну за часом у момент . Тоді й другу похідну по х в (3.3) беремо в тому ж часовому шарі. Схема відповідає нижньому шаблону, наведеному на рисунку 3.1.

Маємо таку апроксимацію диференціального рівняння:

(3.7)

Вираження (3.7) записується для кожного внутрішнього вузла стрижня і являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих значень температури в момент часу . Кожне рівняння системи містить три невідомі, тобто система є трьох діагональною, і може бути вирішена методом прогону або Lu-розкладання. Додамо до системи граничні умови й запишемо систему в канонічному виді (позначимо ):

Система має діагональну перевагу, тому прогін стійкий.

Така схема стійка без яких небудь додаткових обмежень на узгодження кроків за часом і координаті x. Розмір кроків визначається тільки вимогами точності отриманого розв'язку.

Оскільки має місце апроксимація крайової задачі порядку й стійкість, то буде мати місце збіжність розв'язку різницевої задачі до розв'язку вхідної задачі:

Порядок апроксимації по х крайової задачі зменшився на 1 за рахунок апроксимації похідної у другій крайовій умові. Якщо на правому кінці задаються значення функції, то порядок апроксимації крайової задачі буде .

Апостеріорна оцінка погрішності може бути отримана за правилом Рунге на основі подвійного прорахунку за формулою (2.7). Використовуючи екстраполяцію Ричардсона можна уточнити отриманий розв'язок, підвищивши порядок точності розв'язку на 1 (формула 2.8).

3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона

Різницеві схеми підвищеної точності будуються за шаблонами, що викоритстовують більше точок, що дозволяє підвищити порядок апроксимації диференціальної задачі різницевою схемою.

Схема Кранка-Нікольсона будується за шеститочковим шаблоном і має вигляд:

Порядок апроксимації цієї схеми . Схема є абсолютно стійкою, тобто кроки та обираються тільки з умов досягнення необхідної точності.

Покажемо, чому апроксимація за часом має другий порядок точності. Для цього розкладемо функцію в ряд Тейлора в точці . Позначимо .

Звідки отримуємо

.

3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці

Задача 3.1. Перевірити, що функція є розв'язком рівняння для кожного позитивного числа

Задача 3.2. Розв'язати задачу розподілу тепла в стрижні довжини 1, тобто розв'язати рівняння при

початковій умові: ,

граничних умовах .

Розрахунки виконати до моменту часу . Розв'язати по явній і неявній схемі й порівняти результати.

6. Завдання до лабораторної роботи

Завдання 3.1. Використовуючи метод сіток одержати розв'язок змішаної задачі для диференціального рівняння параболічного типу (рівняння теплопровідності) при заданих початкових і граничних умовах , , , де . Розв'язок виконати при , крок за часом підібрати з умови стійкості. Знайти наближений розв'язок задачі за допомогою явної різницевої схеми. Повторити розрахунки з половинним кроком по координаті, вибравши відповідний крок за часом, зрівняти отримані результати й одержати оцінку погрішності розв'язку.

Завдання 3.2. Знайти наближений розв'язок задачі завдання 5.1 за допомогою неявної різницевої схеми. Порівняти отримані розв'язки й об'єм обчислень, необхідних для одержання розв'язку з тою ж точністю.

Варіанти індивідуальних завдань

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , .

8. , , .

9. , , .

10. , , .

11. , , .

12. , , .

13. , , .

14. , , .

15. , , .

16. , , .

17. , , .

18. , , .

19. , , .

20. , , .

Завдання 3.3. Розв'язати двовимірну крайову задачу:

, , , .

за допомогою PDE Tools пакета MATLAB. Розв'язок задачі вивести у вигляді анімації.

Варіанти індивідуальних завдань

Параметр	Варіант
	1	2	3	4	5	6
, см	1	2	3	2	3	2
, см	2	1	2	3	1	2
, хв	0,2	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2
					0
	0				0
			0
	0		0