- •Чисельні методи
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных
- •1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2 Метод сіток розв'яЗання еліптичних рівнянь
- •2.1 Метод сіток – постановка задачі
- •2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння
- •2.4 Погрішність вирішення й збіжність
- •2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці
- •2.6. Завдання до лабораторної роботи
- •3 Метод сіток
- •3.1 Постановка задачі
- •3.2 Явна різницева схема
- •3.3 Неявна різницева схема
- •3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона
- •3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •3.7 Контрольні питання
- •4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
- •4.1 Постановка задачі
- •Явна схема
- •4.3 Неявна схема
- •4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •4.6 Контрольні питання
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння
- •5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
- •5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.7 Завдання до лабораторної роботи
- •5.8 Контрольні питання
- •6 Література
1.3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.1. Докажите, что функция является решением уравнения Лапласа.
Задача 1.2. Докажите, что функция является решением уравнения Лапласа для каждого целого положительного .
Задача 1.3. Пусть функция имеет вид
.
а) найти соотношения между коэффициентами, которые гарантируют выполнение уравнения
;
б) найти соотношения между коэффициентами, которые гарантируют выполнение уравнения
;
в) найти коэффициенты функции, которые удовлетворяют уравнению Лапласа и граничным условиям и ;
г) найти коэффициенты функции, которые удовлетворяют уравнению и граничным условиям и .
1.4 Задание к лабораторной работе
Варианты 1-8. Используя пакет MatLab PDETools, решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области размера , с граничными условиями, приведенными в таблице 1.1, используя пакет PDE Tools MATLAB.
Таблица 1.1 - Варианты индивидуальных заданий
параметры |
варианты |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
, мм |
24 |
25 |
60 |
30 |
, мм |
10 |
15 |
48 |
20 |
, °С |
20 |
|
80 |
|
, °С |
|
85 |
|
95 |
, °С |
100 |
|
0 |
|
, °С |
|
25 |
|
15 |
параметры |
варианты |
|||
5 |
6 |
7 |
8 |
|
, мм |
25 |
24 |
40 |
36 |
, мм |
15 |
10 |
64 |
20 |
, °С |
|
75 |
|
60 |
, °С |
10 |
|
115 |
|
, °С |
|
0 |
|
120 |
, °С |
80 |
|
35 |
|
Варианты 9-14: На подложке интегральной микросхемы располагается кристалл планарного биполярного транзистора (см. рис.1.7). Для описания распределения температуры в структуре используется уравнение Лапласа:
.
Подложка прямоугольной формы имеет размеры A × B. Предполагается, что транзистор в объеме и на своей геометрической границе имеет температуру .
Рисунок 1.7 – Геометрия подложки
Требуется определить распределение температуры по всей подложке. Размеры транзистора – 0,6 × 0,6 мм. Граничные условия, а также размеры A и B, a и b указаны в таблице 1.2.
Таблица 1.2.
Параметр |
Вариант |
|||||
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
А, мм |
8 |
6 |
24 |
12 |
7 |
4 |
В, мм |
5 |
5 |
10 |
10 |
5 |
6 |
, мм |
2 |
3 |
7 |
4 |
2,5 |
1,5 |
, мм |
2 |
2 |
4 |
6 |
1,5 |
3 |
|
100 |
120 |
110 |
120 |
110 |
90 |
|
0 |
0 |
20 |
10 |
25 |
30 |
|
0 |
10 |
20 |
20 |
45 |
20 |
|
0 |
20 |
20 |
10 |
25 |
30 |
|
0 |
10 |
20 |
0 |
15 |
55 |
Варианты 15-20. Прямоугольная металлическая пластина с вырезом (рис. 1.8) используется как теплоотводящий элемент. В угловом вырезе пластины (границы Г2 и Г3) расположен источник тепла. Распределение температуры T(x,y) по площади пластины описывается уравнением Лапласа. Найдите распределение T(x,y). Размеры A, B, C и граничные условия даны в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Параметр |
Вариант |
|||||
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
A, мм |
200 |
180 |
120 |
150 |
100 |
210 |
B, мм |
45 |
55 |
55 |
75 |
85 |
110 |
C, мм |
65 |
70 |
55 |
45 |
70 |
80 |
|
30 |
35 |
29 |
28 |
35 |
40 |
|
60 |
65 |
60 |
70 |
65 |
0,29 |
|
60 |
65 |
60 |
70 |
65 |
0,29 |
|
30 |
35 |
29 |
28 |
35 |
40 |
|
20 |
25 |
20 |
25 |
20 |
25 |
|
20 |
25 |
20 |
25 |
20 |
25 |
Рисунок 1.8 – Геометрия теплоотводящего элемента
Контрольные вопросы
Приведите классификацию ДУЧП.
Какого вида граничные условия используются в задачах с ДУЧП?
Какие задачи можно решать с помощью пакета PDE Tools?
Какие процессы описываются уравнениями параболического типа?
Какие процессы описываются уравнениями гиперболического типа? Сколько начальных условий необходимо задать в краевой задаче для таких уравнений?
Какие процессы описываются уравнениями эллиптического типа?
Каким методом решаются задачи в пакете PDE Tools?
Из каких геометрических примитивов можно строить область в пакете PDE Tools?
Какие способы визуализации решений вы знаете?
Для каких задач имеет смысл строить анимацию?