5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма

Як відомо, визначений інтеграл може бути замінений його наближеним значенням, що обчислюються за допомогою квадратурної формули:

(5.7)

де – номера вузлів сітки по змінній, – коефіцієнти квадратурної формули.

Приведемо значення коефіцієнтів для різних квадратурних формул. Нехай , .

1. Формула лівих прямокутників:

.

2. Формула трапецій

3. Формула Симпсона ( ):

.

Підставивши праву частину наближеного рівності (5.7) із замість інтеграла в інтегральне рівняння (5.5), одержимо:

(5.8)

Вираження (5.8) задає функцію, що описує наближений розв'язок інтегрального рівняння (5.5). Введемо на відрізку дискретну часову сітку , вузли якої збігаються з вузлами сітки . Для кожного моменту часу виконується рівність:

, . (5.9)

Введемо позначення , , і запишемо (5.9) у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь із невідомими:

(5.10)

Маэмо такий алгоритм знаходження розв'язку рівняння Фредгольма другого роду.

1. Задати часову сітку .

2. Обчислити значення функції у вузлах часової сітки.

3. Обчислити елементи матриці, складеної з коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь (7.10).

4. Розв'язати СЛАУ.

Точність чисельного розв'язку інтегрального рівняння залежить від:

- застосовуваної квадратурної формули;

– числа вузлів часової сітки;

– властивостей функції .

Для оцінки максимальної апостеріорної погрішності чисельного розв'язку використовують принцип Рунге. Даний принцип полягає в порівнянні чисельних розв'язків, отриманих на часових сітках із кроком і в тих самих вузлах часової сітки. Абсолютне значення різниці цих розв'язків характеризує величину погрішності чисельного розв'язку. Недолік підходу: при даному способі контролю доводиться обмежуватися квадратурними формулами, придатними тільки для сіток з рівномірним кроком.

Приклад 5.3. Розв'язати інтегральне рівняння , використовуючи квадратурну формулу Симпсона.

Виконаємо спочатку розрахунки вручну, вибравши на відрізку тільки 3 точки х = [ 0, 0.5, 1].

Замінимо інтеграл квадратурною сумою за методом Симпсона:

**

Підставляємо останній вираз для інтеграла в рівняння для кожного значення на обраній сітці й одержуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Візьмемо значення і отримаємо систему

Рішенням системи є значення .

Перевіремо це рішення програмно в системі MATLAB.

a=0; b=1; n=3; h=0.5;lambda=1/2;

x=a:h:b; b=f1(x);

for i=1:n

for j=1:n

% задаємо коефіцієнти квадратурної формули

if (rem(j,2)==1) c=2*h/3; else c=4*h/3; end;

if (j==1 || j==n) c=h/3; end;

k(i,j)=K1(x(i),x(j));

% обчислюємо коефіцієнті системи рівнянь

if (i==j)

a(i,j)=1-lambda*c*k(i,j);

else

a(i,j)=-lambda*c*k(i,j);

end;

end;

end;

% розв’язуємо систему і будуємо графік рішення

y=a\b'

plot(x,y); grid on;

Функції

function z=K1(x,t)

z=x*t;

function y=f1(x)

y=5/6*x;

Точний розв'язок рівняння . Збільшення кількості точок на інтервалі не поліпшує якість наближення (це тільки для цього прикладу!).