- •Чисельні методи
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных
- •1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2 Метод сіток розв'яЗання еліптичних рівнянь
- •2.1 Метод сіток – постановка задачі
- •2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння
- •2.4 Погрішність вирішення й збіжність
- •2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці
- •2.6. Завдання до лабораторної роботи
- •3 Метод сіток
- •3.1 Постановка задачі
- •3.2 Явна різницева схема
- •3.3 Неявна різницева схема
- •3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона
- •3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •3.7 Контрольні питання
- •4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
- •4.1 Постановка задачі
- •Явна схема
- •4.3 Неявна схема
- •4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •4.6 Контрольні питання
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння
- •5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
- •5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.7 Завдання до лабораторної роботи
- •5.8 Контрольні питання
- •6 Література
5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
Визначення 3. Лінійним інтегральним рівнянням Вольтера називаються рівняння виду
(5.11)
(рівняння 2-го роду) або виду
(5.12)
(рівняння 1-го роду). В (5.11) і (5.12) – шукана функція, а ядро й вільний член передбачаються заданими відповідно в трикутнику , і на відрізку .
Розв'язком рівняння (5.11) будемо називати функцію , , що обертає це рівняння в тотожність. Будемо вважати, що функції й безперервні у своїй області визначення. При цій умові рівняння (5.11) має єдиний розв'язок у класі функцій, безперервних на .
5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
Будується послідовність функцій , , де нульове наближення – довільна функція, а наступні наближення визначаються за допомогою рекурентного співвідношення:
, .
Якщо ядро й вільний член безперервні відповідно при , і на відрізку , то послідовність наближень , при сходиться до єдиного безперервного розв'язку інтегрального рівняння. Звичайно вважають .
Приклад 5.4. Методом послідовних наближень розв'язати рівняння .
Розв'язок. Прийнявши , послідовно знаходимо:
, .
У загальному випадку
.
Звідки .
5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
Тому що лінійні інтегральні рівняння Вольтера мають єдиний безперервний розв'язок при будь-яких значеннях параметра , при знаходженні чисельного розв'язку рівняння Вольтерра другого роду можна покласти .
Враховуючи, що рівняння Вольтера можна вважати рівнянням Фредгольма: ,
с ядром . (5.13)
Для знаходження розв'язку розглянутого рівняння скористаємося результатами підрозділу 5.3.
Введемо в розгляд часову сітку , що складається з вузлів, і виберемо конкретну квадратурну формулу з вагами , тоді наближений розв'язок інтегрального рівняння має вид (7.9). Складемо СЛАУ, аналогічну системі (7.10), яка в силу властивостей ядра інтегрального рівняння (7.13) вироджується в трикутну:
(5.14)
З (5.14) видно, що невідомі значення знаходяться послідовними обчисленнями по формулах:
, , .
Приклад 5.2. Інтегральне рівняння
Має точний розв'язок .
Знайдемо чисельний розв'язок цього рівняння, використовуючи метод трапецій, і порівняємо його з точним.
a=0; b=2.5; h=0.05; n=(b-a)/h+1; x(1)=a; y(1)=f(a);
for i=2:n
x(i)=a+(i-1)*h;
g=f(x(i));
for j=1:i-1
if (j==1) c=0.5; else c=1; end;
g=g+h*c*K(x(i),x(j))*y(j);
end;
y(i)=g/(1-h/2*K(x(i),x(i)));
ty(i)=exp(x(i))*(cos(exp(x(i)))-p(x(i))*sin(exp(x(i))));
end; plot(x,y,x,ty,'.'); grid on;
Функції:
function y=f(x)
y=(1-x*exp(2*x))*cos(1)-exp(2*x)*sin(1);
function z=K(x,t)
z=1-(x-t)*exp(2*x);
Рисунок 5.1 – Точний й наближений розв'язок прикладу 5.2.