- •Чисельні методи
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных
- •1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2 Метод сіток розв'яЗання еліптичних рівнянь
- •2.1 Метод сіток – постановка задачі
- •2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння
- •2.4 Погрішність вирішення й збіжність
- •2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці
- •2.6. Завдання до лабораторної роботи
- •3 Метод сіток
- •3.1 Постановка задачі
- •3.2 Явна різницева схема
- •3.3 Неявна різницева схема
- •3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона
- •3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •3.7 Контрольні питання
- •4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
- •4.1 Постановка задачі
- •Явна схема
- •4.3 Неявна схема
- •4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •4.6 Контрольні питання
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння
- •5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
- •5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.7 Завдання до лабораторної роботи
- •5.8 Контрольні питання
- •6 Література
3 Метод сіток
РОЗВ'ЯЗКУ початково-крайових задач
для РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ
3.1 Постановка задачі
Розглянемо розв'язок змішаної крайової задачі для диференційних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП):
, , (3.1)
с початковою умовою:
,
і граничними умовами:
, , .
Розглянуте рівняння описує розподіл температури в стрижні, початкова температура якого дорівнює значенню функції . Температура на лівому кінці стрижня змінюється за законом , на правому кінці стрижня відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого визначається функцією .
Для розв'язку задачі методом кінцевих різниць побудуємо прямокутну сітку (рис. 3.1), вузли якої визначаються формулами:
, , , .
Значення на лівій і нижній сторонах сітки відомі з початкових і граничних умов. На правій границі відоме значення частинної похідної розв'язку рівняння по змінній .
Замінимо частинні похідні в рівнянні теплопровідності їх кінцево-різницевими апроксимаціями в кожному внутрішньому вузлі:
, (3.2)
(3.3)
Р исунок 3.1 – Просторово - часова сітка й шаблони, що використовуються для розв'язку рівнянь параболічного типу
Вираз (3.2) можна вважати наближенням похідної як у точці так і в точці порядку .
Вираз (3.3) апроксимує похідну з порядком . Таким чином, порядок апроксимації диференційного рівняння
Для розв'язку змішаної крайової задачі необхідно апроксимувати похідну в граничній умові на правому кінці:
.
Використовуючи кінцево-різницеву апроксимацію, одержуємо:
(3.4).
Порядок апроксимації останньої формули .
3.2 Явна різницева схема
Підставимо вирази (3.2) і (3.3) у рівняння (3.1) і розв'яжемо його щодо значень функції на верхньому часовому шарі:
. (3.5)
Формула (3.5) вирішує поставлену задачу, оскільки вона виражає розв'язок у цей момент часу через розв'язок у попередній момент часу.
З (3.4) знаходимо: . (3.6)
Алгоритм обчислень за явною схемою реалізується наступною послідовністю дій.
Обчислюємо значення сіткової функції на першому часовому шарі з початкових умов: .
Знаходимо розв'язок на сітковому шарі , використовуючи явну формулу:
, , .**
Обчислюємо величину за формулою (5.6) .
Завершивши кроки 1-3 одержуємо розв'язок при . Для одержання розв'язку при повторюють кроки 2,3, піднімаючись щораз на один рядок нагору, тобто збільшивши на одиницю й використовуючи з попереднього рядка.
Явна схема відповідає верхньому шаблону, наведеному на рисунку 3.1.
Недолік явної схеми: якщо крок за часом виявляється досить великим у порівнянні із кроком по , то погрішності обчислень можуть стати настільки великими, що отриманий розв'язок втрачає сенс, тобто розв'язок стає нестійким. Для стійкості явної схеми повинна виконуватися умова
,
яка накладає досить жорсткі обмеження на крок за часом ( ) і веде до значного збільшення часу рахунку. Така схема називається умовно стійкою.
Приклад 3.1. Обчислити за допомогою явної схеми наближ
ений розв'язок змішаної задачі
, , ,
с початковою умовою й граничними умовами .
Розв'язок. Формула (5.5) з урахуванням кроків по - і по - після перетворень прийме вигляд:
.
Схема стійка, якщо . Перевіримо: , тобто обрана різницева схема є стійкою.
Рисунок 3.2 – Просторово - часова сітка для прикладу 3.1
З початкових умов одержимо:
, , , , , ;
із граничних умов одержимо
, ; , ; , .
Підрахуємо значення для :
;
Аналогічно обчислюємо для інших значень .
Графіки розв'язку для чотирьох моментів часу наведені на рис. 5.3. Початковий розподіл температури позначений на графіку точками.
**
Рисунок 3.3 – Графіки розв'язку прикладу 3.1.