1.15. Пример расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

На примере схемы рис. покажем последовательность расчета переходных процессов по заданному закону изменения напряжения (рис.)

Последовательность расчета включает четыре основных этапа:

Любым из известных методов определяют переходную проводимость g(t).

1. Производят замену аргументов и получают g(t - τ).

2. По заданной функции входного напряжения определяют ее производную по t, а затем производят замену t на τ, т.е. получают u^'(τ).

3. Параметры, найденные в пунктах 1 – 3, подставляют в формулу интеграла Дюамеля и определяют исходную функцию i(t) в переходном процессе.

а) b)

Рис.1.15 (a, b). Схема и график входного напряжения для расчета

переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

Исходные данные:

R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, L = 10 мГн

Определить i₁(t).

Полагаем, что на входе схемы включен источник постоянного напряжения, численно равный 1В и i_L(-0)=0.

Рассчитаем i₁(t) при этом условии:

i₁ =i_1пр+ i_1св ; где i_1пр= и i_1св=Ae ^pt.

Рассчитаем переходную характеристику h(t).

Любым из известных методов определяем переходную проводимость. Расчет проведем классическим методом. Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений, используя метод контурных токов:

;

где i₁₁ = i₁;

;

.

Заменим jω на p:

;

R₁R₂ + R₁pL + R₂pL =0;

.

При t = 0 получим:

i₁(0) = i₂(0) + i_L(0);

;

;

.

При E = 1В получим:

;

;

u(t) = 200 - 10000t = -10⁴ t+ 200;

u^'(t) = -10⁴;

u^'(τ) = -10⁴.

Итоговое решение получим в виде суммы составляющих решений на двух интервалах:

1. 0 ≤ t < t_1;

2. t ≥ t_1;

Производим проверку решения качественную и количественную.

Качественная: в решении должны присутствовать слагаемые, повторяющие форму подводимого напряжения, и свободная составляющая:

Количественная:

1) при t = 0;

i₁(0) = 80 - 66.6 =13.4, i₁(0) = 200/15 = 13.3.

2) при t ≥ t_1;

_.

1.16. Частотный метод расчета переходных процессов

Данный метод базируется на известном преобразовании Фурье.

1.16.1. Интеграл Фурье.

В случае, когда имеем периодическую несинусоидальную функцию, её можно разложить в периодический ряд Фурье:

(1.16.1.1)

Этот ряд является дискретным, кроме того, коэффициенты B_km, C_km, A₀ являются функциями времени. Введем дополнительную переменную τ и тогда коэффициенты ряда Фурье имеют вид:

Где τ действует в интервале [-T/2;T/2], T – основной период несинусоидальной периодической функции. Подставив коэффициенты в ряд Фурье, получим:

.

По тригонометрическим формулам преобразуем выражение в скобках и получим следующее выражение:

; (1.16.1.2)

Поскольку ряд дискретный, то между двумя соседними частотами всегда имеется интервал ∆ω =ω= ω_k+1 – ω_k, ω =2π/T;

где k – номер гармоники:

При неограниченном увеличении периода, т.е. при T → , коэффициент A₀ → 0, в итоге перейдем от периодической функции к непериодической. При этом исходное уравнение упростится и примет следующий вид

. (1.16.1.3)

При неограниченном росте периода частотный интервал ∆ω стремится к dω и поэтому окончательное выражение примет вид

. (1.16.1.4)

При этом ω становится не фиксированной, а текущей. Полученная формула представляет собой интеграл Фурье в тригонометрической форме.

Таким образом, от дискретного спектра частот соответствующей периодической несинусоидальной функции перешли к непрерывному спектру частот непериодической функции. Поскольку внутренний интеграл сходящийся, то есть это некоторое конечное число, то, умножая его на dω, получаем бесконечно малую величину – амплитуду на данной текущей частоте.