3.2. Фазовая скорость и коэффициент распространения

Оценим скорость перемещения волн вдоль линии. Фазовой называется такая скорость, перемещаясь с которой вдоль волны, наблюдаем одну и ту же фазу. Из формулы для напряжения выделим фазу:

(3.2.1)

Фазовая скорость в воздушных линиях близка к скорости света c = 3∙10⁸м/с.

В кабельных линиях

,

где μ – относительная магнитная проницаемость среды, в которой распространяется электромагнитная волна, ε – относительная электрическая проницаемость среды.

Если известна фазовая скорость, можно определить длину волны:

(3.2.2)

Понятие «длинной» и «короткой» линии весьма условно и определяется частотой питающего эту линию генератора, поэтому одна и та же линия может считаться как длинной, так и короткой.

Для линии электропередачи

.

3.3. Уравнения однородной линии в гиперболических функциях

Рассмотрим полученные ранее уравнения комплексных напряжений и тока:

;

Комплексные коэффициенты могут быть определены, если известны граничные условия в начале или конце линии. Будем полагать, что ток İ и напряжение Ů в начале линии известны. Рассчитаем ток и напряжение в любой точке линии. Определим коэффициенты А₁ и А_2, приняв x =0.

Найденные коэффициенты подставим в исходную систему уравнений:

Полученные уравнения можно упростить, если воспользоваться гиперболическими функциями:

(3.3.1)

Система уравнений (3.3.1) позволяет определить напряжение и ток в любой точке линии при движении от начала к концу. Однако в том случае, если задан режим работы нагрузки Z₂ , можно получить аналогичную систему уравнений для токов и напряжений при движении от конца линии к началу. Для этого х меняем на l – х:

;

.

В конце линии, т.е. при х = 0 имеем:

где

откуда

Соответственно, введя гиперболические функции, имеем:

(3.3.2)

Система (3.3.2) имеет важное практическое значение, так как позволяет установить связи между входными и выходными токами и напряжениями в линии при известной нагрузке. Полученные уравнения позволяют определить входное сопротивление - это такое сосредоточенное сопротивление, которым можно заменить всю линию с нагрузкой на ее конце, при этом режим работы генератора не изменится. Определим этот параметр:

Полученное уравнение показывает, что входное сопротивление линии определяется ее вторичными параметрами Z_C и γ, длиной линии , а также значением нагрузки на конце линии Z₂.

3.4. Нагрузочный режим работы линии

В случае, когда линия нагружена на сопротивление Z₂, то в ней в общем случае существуют одновременно падающие и отраженные волны. Отношение отраженной волны тока или напряжения к падающей в конце линии называется коэффициентом отражения, который является комплексным числом:

(3.4.1)

С помощью известного коэффициента отражения (3.4.1) нетрудно найти любую составляющую напряжения U_прям или U_обр при одной известной составляющей волны. Отражение может произойти не только от начала или конца линии, но и от любой неоднородности в ней. Полученный результат позволяет сделать важный практический вывод, что при N_U = 0 в линии существуют только прямые (падающие волны). Это так называемый согласованный режим работы линии, который возникает при условии Z₂ = Z_C. При этом условии отсутствуют отраженные волны напряжения и тока. Покажем это, используя составленные выше уравнения:

Аналогичного рода рассуждения можно провести для тока, получим следующие соотношения:

.

Взяв отношение напряжения к току в любом сечении линии, получим:

Определим входное сопротивление линии при согласованной нагрузке:

(3.4.2)

Из этого следует, что линию, согласованную с нагрузкой, можно заменить некоторым сосредоточенным сопротивлением, равным Z_C , при этом режим работы генератора не изменится. Входное сопротивление, как и волновое, является комплексным числом и может быть представлен в виде

Построим качественно картины указанных функций. На рис.3.4.1 представлена функция модуля входного сопротивления линии, а на рис. 3.4.2 – функция фазы входного сопротивления в зависимости от длины линии.

Рис.3.4.1. Зависимость модуля входного сопротивления от длины линии

С ростом длины линии модуль входного сопротивления стремится к величине волнового сопротивления линии. В пределе при бесконечно большой длине Z_вх равно ее волновому сопротивлению. Это объясняется тем, что с ростом длины линии роль отраженных волн становится меньше и при бесконечной длине они вовсе отсутствуют. Такой же режим имеет место и при согласовании линии с нагрузкой, с той разницей, что в этом режиме входное сопротивление будет константой и равной Z_C.

Рис.3.4.2. Зависимость фазы входного сопротивления от длины линии

Существуют точки по длине линии, где фаза обращается в ноль. Отрезки между этими соседними точками носят название резонансных участков линии.