Дисконтирование

Дисконтирование – это способ нахождения стоимости величины P на некоторый момент времени, при условии, что в будущем при начислении на неё процентов, она могла бы составить наращенную сумму S.

Величину P, найденную дисконтированием наращенной величины S, называют современной или приведенной стоимостью.

Существуют математический и банковский (коммерческий) методы дисконтирования (учета).

Математическое дисконтирование

При математическом дисконтировании решается задача обратная определению наращенной ссуды, т.е. какую сумму следует выдать в долг на n-лет, чтобы при начислении на неё процентов по ставке i, получить наращенную сумму, равную S.

Рассмотрим формулу (2) наращения по простой ставке процентов:

Отсюда (10),

где , называется дисконтным множителем.

В этой формуле P – приведенная или современная величина будущей суммы. Дисконтный множитель показывает во сколько раз первоначальная сумма ссуды меньше наращенной суммы.

Разность S-P=D является дисконтом.

Из формулы (2) найдем величину эффективной годовой процентной ставки, т.е. если , то (11)

или , где n-время в годах.

Если срок ссуды выражен в d-днях, то

или (12)

Если согласованы основные параметры ссуды, т.е. сумма погашения долга S, процентная ставка i, величина ссуды P, то можно определить срок погашения ссуды по формуле: (13), если n-годы.

Можно найти срок ссуды в днях:

, если i-относительная процентная ставка;

, если i- процентная ставка.

Банковское дисконтирование

При математическом дисконтировании использовали процентную ставку i и за базу принимали первоначальную сумму ссуды P. Однако можно использовать и другой подход, когда за базу (за 100%) принимается сумма погашения долга S. В этом случае применяется учетная ставка q (далее будем q –считать относительной учетной ставкой).

За первый период: S-Sq=S(1-q).

За второй период: S-Sq-Sq=S(1-2q) и т.д.

За n-ый период: S(1-nq) равняется первоначальной сумме, где n – срок ссуды. Значит

или (14)

Дисконтирование по учетной ставке (банковский учет) производится чаще при условии, что год принимается равным 360 дней, а число дней в периоде обычно берется точным. Можно определить срок ссуды из формулы (14):

(15)

Если срок ссуды выражен в днях, то (16)

Можно найти величину относительной учетной ставки:

или

Дисконтирование по сложной ставке процентов

На практике ссуды выдаются как под простые, так под сложные проценты.

Рассмотрим применение дисконтирования по ставке сложных процентов. Сложные проценты могут начисляться двумя способами: декурсивным и антисипативным.

При декурсивном способе и (17)

Обозначим через

, Vⁿ – называется учетным или дисконтным множителем.

Тогда

При этом дисконт D составит

Если проценты начисляются ежеквартально (или ежемесячно), то первоначальная сумма вклада значительно меньше.

При антисипативном способе, если , то (18).

Задача 1. Через год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 3700 рублей. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставка составляет 110%?

Задача 2. Владелец векселя, номинальная стоимость которого 5000 рублей, а срок погашения 1 год, обратился в банк через 250 дней, т.е. до наступления срока погашения векселя, с просьбой об его учете. Банк согласился на учет векселя по ставке 23,5%. Какую сумму получит держатель векселя?

Задача 3. Фирма планирует кредит в сумме 12 млн. рублей при ставке 170% годовых. Каков должен быть срок ссуды, чтобы сумма возврата долга составила не более 28 млн. рублей?

Задача 4. Клиент положил в банк некоторую сумму под 4% годовых, проценты начисляются ежегодно. Через 4 года сумма вклада составила 23400 рублей. Найти первоначальную сумму вклада.