13. Эффект транспонирования частоты в дискретных системах. Методы устранения эффекта транспонирования частоты.

Непрерывный сигнал измерений поступающий в цифровую АСР может быть описан в общем случае соотношением

y(t)=S(t)+n(t),

где S(t)-невозмущенный сигнал и n(t)-помеха. Сигнал квантуется с тактом Т₀ и частотой ₀=2/T₀. Преобразование Фурье для детерминированной составляющей квантованного сигнала является периодической функцией, повторяющейся с частотой ₀:

y*(j)=y*(j(+V₀ ), V=0, 1 ,2, 3,……

Такой же периодичностью характеризуется спектральная плотность случайной составляющей

S_уу()=S_уу(+V),

Следовательно в спектре сигнала измерений наряду с основными (V=0) присутствует бесконечное множество (боковых) спектров, соответствующих V=1, 2,…..от стоящих друг от друга на величину ₀. Спектральные кривые изображенные на рис. 21 для полезного сигнала S(t)-(a) и помехи n(t) (б) при V=+1.

Рис. 21. Спектры сигнала S(к) и помехи n(к), a-спектр полезного сигнала; б-спектр помехи; ₀-частота квантования, -Шеннона-Котельникова.

Пусть _max – максимальная частота сигнала, который должен проходить через систему управления. Если _max > , основной и дополнительный спектры накладываются друг на друга. В этом случае непрерывный сигнал невозможно воспроизвести без ошибки даже с помощью идеального полосового фильтра. Действительно, согласно теории Котельникова, для восстановления сигнала с ограниченным спектром ₀ необходимо, чтобы выполнялось условие _max > =_s. По отношению к такту квантования это условие имеет вид .

Если в сигнале измерений y(t) содержится высокочастотная помеха n(t) со спектральной плотностью S_nn()0 при >_s , на ее основной спектр S_nn() накладываются дополнительные спектры S_nn(+₀). Суммарная спектральная кривая S*_nn() изображена на рисунке 21 б). Можно показать, что в результате квантового высокочастотного шума, содержащего гармонику с частотой _s < ₁ < ₀ появляется низкочастотная гармоника ₂ = ₀-₁ с той же амплитудой. Это явление, известно как транспонирование частот. Очевидно, что составляющие шума с частотами ₁₀ порождают колебания в системе очень низкой частоты ₂. По этой причине высокочастотные помехи с большим значением спектральной плотности в области >= необходимо фильтровать до того, как они будут подвергнуты квантованию. Для подавления высокочастотных шумов успешно применяются аналоговые фильтры (Баттерворда, Бессель, Чебышева).