- •Богданов а.Е. Курс лекций
- •Содержание
- •§ 1. Основные понятия теории множеств
- •Основные понятия теории множеств
- •Способы задания множеств
- •Операции над множествами
- •§ 2. Соответствия. Функции. Отображения
- •§ 3. Понятие алгебры. Алгебра множеств кантора
- •Диаграмма Эйлера-Венна
- •§ 4. Бинарные отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •§ 5. Бинарное отношение эквивалентности
- •§ 6. Бинарное отношение порядка. Упорядоченные
- •§ 7. Решетки (структуры). Изоморфизм
- •Изоморфизм множеств
- •Дедекиндовые решетки
- •Дистрибутивные решетки
- •§ 8. Отношения (обобщение). Алгебраические
- •Операции над отношениями
- •Алгебраические системы
- •Глава ιι. Комбинаторный анализ
- •§ 1. Основные определения
- •Правила суммы и произведения
- •§ 2. Формулы расчета перестановок и сочетаний
- •§ 3. Бином и полином
- •§ 4. Подстановки
- •§ 5. Метод включений и исключений
- •§ 6. Метод производящих функций
- •§ 7. Комбинаторная мера информации. Вероятность искажения информации
- •Глава ιіі. Теория графов
- •§ 1. Первоначальные понятия теории графов
- •§ 2. Операции над графами. Способы задания графов Операции над графами
- •Способы задания графов
- •§ 3. Маршруты, цепи, циклы и другие характеристики графа
- •§ 4. Алгебраическая форма представления графа
- •Глава іv. Некоторые приложения графов
- •§ 1. Эйлеровы графы. Алгоритм флери. Гамильтоновы
- •Эйлеровы графы
- •Алгоритм Флери.
- •Метод построения эйлерового обхода двоичного куба
- •Гамильтоновы графы. Метод Робертса – Флореса
- •Метод перебора Робертса – Флореса
- •§ 2. Пространство циклов графа
- •§ 3. Независимое множество вершин графа
- •Алгоритм выделения пустых подграфов
- •§ 4. Вершинное число внешней устойчивости графа
- •§ 5. Плотность графа
- •Алгоритм выделения полных подграфов
- •§ 6. Раскраска графа
- •Оценки хроматического числа
- •Алгоритм минимальной раскраски вершин графа
- •§ 7. Планарность графа
- •Глава V. Оптимизационные алгоритмы теории графов
- •§ 1. Определение кратчайших путей. Алгоритм дейкстры
- •§ 2. Максимальный поток через сеть. Алгоритм
- •Алгоритм Форда – Фалкерсона
- •§ 3. Построение остова экстремального веса. Алгоритм краскала
- •§ 4. Метод ветвей и границ: задача коммивояжера. Общая модель задачи поиска
- •Дерево поиска частичных решений
- •§ 5. Применение ориентированных деревьев в задачах теории кодирования и диагностирования
- •§ 6. Построение оптимального дерева бинарного поиска. Алгоритм гильберта – мура
- •Алгоритм Гильберта – Мура построения оптимального дерева бинарного поиска Суть алгоритма
- •Алгоритм
- •§ 7. Сложность задач теории графов. Задача синтеза управляющих систем
- •Задача синтеза управляющих систем
- •Задача о выполнимости
- •Литература
- •Электронное пособие курс лекций
- •«Дискретная математика».
§ 3. Понятие алгебры. Алгебра множеств кантора
Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными в нем операциями S = { f1, f2,…, fп}, т.е.
А = <M, S >,
где М – носитель алгебры , S – сигнатура алгебры, которая включает в себя одноместные, двухместные и другие операции.
Алгебра вида A = <M, f>, где f – двухместная операция, называется группоидом.
Если f – операция типа умножения ( ), то группоид называется мультипликативным. Если f – операция типа сложения (+), то группоид называется аддитивным.
Элемент е называется нейтральным элементом группоида А, если для любого элемента выполняется равенство
m f е = е f m = m.
Если группоид A = <M,f > мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается через 1, если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается через 0.
Если множество М содержит нейтральный элемент е относительно операции f , то элемент n называется обратным элементу m , если
m f n = n f m = e.
Запись означает, что обратным элементом элементу m является элемент n. При аддитивной записи обратный элемент элементу m обозначается через – m, а при мультипликативной записи – через m – 1 .
Группоид A = <M, f > называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности, т.е. для любого
m f m = m.
Группоид A = <M, f > называется коммутативным или абелевым , если его сигнатура подчиняется закону коммутативности, т.е. для любых m,n
m f n = n f m.
Группоид A = <M, f > называется ассоциативным или полугруппой, если его сигнатура удовлетворяет закону ассоциативности, т.е. для любых
(m f n) f p = m f (n f p).
Полугруппа A = <M, f > , в которой выполнимы обратные операции, называется группой.
Пример. К какому типу относится алгебра A = < Z , >, являющаяся совокупностью множества целых чисел с заданной в нем операцией умножения.
□ В множестве целых чисел выполняется коммутативный закон. Значит, заданный мультипликативный группоид является коммутативным или абелевым. В данном множестве также выполняется закон ассоциативности. Следовательно, заданный группоид является ассоциативным или полугруппой. Другими словами, заданный мультипликативный группоид является абелевой полугруппой по умножению.
Нейтральным элементом е является 1, т.е. е = 1, т.к. для любого целого числа m выполняется условие mּ1=1ּт = m.
Для любого целого числа m обратным элементом m – 1 будет 1/m, т.к. mּ ּm = e = 1. Так как группоид является полугруппой и в ней выполнима обратная операция, то он является группой. Таким образом, заданная алгебра является абелевой группой по умножению.
■
Алгеброй множеств (алгеброй Кантора) называют алгебру вида
,
где булеан B(U) – носитель алгебры, а снгнатура – двухместные операции объединения и пересечения , а также одноместная операция дополнения .
Для операций алгебры множеств выполняются следующие законы и свойства:
1. Коммутативности объединения и пересечения
2. Ассоциативности объединения и пересечения
3. Дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения
4. Идемпотентности объединения и пересечения
5. Действия с универсальным U и пустым Ø множествами
Ø =М , Ø = Ø ,
Ø .
6. Де Моргана
=
7. Двойного дополнения
=М .
8. Склеивания
9. Поглощения
10. Порецкого
Алгебра множеств по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой.