§ 1. Основные понятия теории множеств

Проблемы, связанные с понятиями бесконечности, дискретности и непрерывности, рассматривались в математике, как и в философии, древнегреческими мыслителями, начиная с VΙ века до нашей эры. Под влиянием сочинений Аристотеля они широко обсуждались учеными и философами средневековья в странах Европы и Азии. Через всю историю математики проходит идея преодоления между актуальной и потенциальной бесконечностью, с одной стороны, между дискретным характером числа и непрерывной природой геометрических величин – с другой. Впервые проблема математической бесконечности и связанных с нею понятий была широко поставлена в наиболее общем виде в теории множеств, основы которой были разработаны в последней четверти ΧΙΧ века Георгом Кантором.

Основные понятия теории множеств

Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Элементы множества не повторяются. Порядок элементов в множестве произвольный.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Принадлежность объекта т множеству М обозначается при помощи символа : т М. Символ означает отношение принадлежности.

Множество называют подмножеством множества , если любой элемент множества принадлежит множеству М : Символ означает отношение нестрогого включения.

Если и , то множества М₁ и М₂ называются равными : М₁=М_2. Другими словами, если два множества состоят из одних и тех же элементов, то они равны.

Если и , то множество М₁ называется собственным подмножеством множества М₂ : Другими словами, если М₂ содержит и другие элементы, кроме элементов из М₁, то Символ означает отношение строгого включения.

Таким образом, отношение принадлежности демонстрирует связь между элементами множества и самим множеством, а отношения включения - связь между двумя множествами. Нестрогое включение допускает равенство двух множеств.

Пример. Дано множество М={1, 2, 3,{3}, {4}}. Какие из следующих утверждений верны (неверны) и почему?

□ 2 М – верно, так как в множестве М есть элемент 2;

{1, 2} М – верно, т.к. в множестве М есть элементы 1 и 2, т.е. 1 М и 2 М ;

{3} M – верно , т.к. в множестве М есть элемент 3;

{3} M – верно , т.к. в множестве М есть элемент {3};

4 М – не верно, т.к. в множестве М нет элемента 4, т.е. 4 М;

{4} M – верно, т.к. в множестве М есть элемент {4};

{4} M – не верно, т.к. в множестве М нет элемента 4, т.е. {4} M. ■

Способы задания множеств

Основными способами задания множеств являются:

1) перечисление элементов: М = {0, 1, 2, 3, 4, … , 9};

2) указание характеристических свойств элементов:

М = {т / т – целое , 0 };

3) аналитический (операции над множествами):

М = (М_{1 ;}

4) графический ( круги или диаграммы Эйлера) ( рис. 1.1) :

Рис. 1.1

Множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными.

Число элементов в конечном множестве М называется мощностью этого множества и обозначается .

Мощность бесконечного множества будет рассмотрена после введения понятия соответствия.

Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются все подмножества множества М. Такое множество называют семейством множества М или булеаном этого множества и обозначают В(М) , а само множество М – универсальным, универсумом или пространством и обозначают через U .

Мощность булеана от универсума U определяется по формуле

В общем случае булеан В(U), где U={M₁, M₂, … , M_п}, можно построить по следующему правилу. Первым множеством булеана будет пустое множество Ø, не содержащее ни одного элемента. Затем все множества, содержащие по одному элементу из U, затем все множества, содержащие по два элемента из U, затем по три элемента и т.д., и, наконец, множество, содержащее все элементы U.

Пример. Построить булеан B(U) от универсума U = {x, y, z} и определить его мощность.

□ Согласно приведенному правилу построения булеана будем иметь

B(U) = {Ø, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

Для определения мощности булеана B(U) найдем мощность универсума U:

Тогда

Пустое множество и само множество являются несобственными подмножествами множества М, а остальные подмножества – собственные. ■