- •Богданов а.Е. Курс лекций
- •Содержание
- •§ 1. Основные понятия теории множеств
- •Основные понятия теории множеств
- •Способы задания множеств
- •Операции над множествами
- •§ 2. Соответствия. Функции. Отображения
- •§ 3. Понятие алгебры. Алгебра множеств кантора
- •Диаграмма Эйлера-Венна
- •§ 4. Бинарные отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •§ 5. Бинарное отношение эквивалентности
- •§ 6. Бинарное отношение порядка. Упорядоченные
- •§ 7. Решетки (структуры). Изоморфизм
- •Изоморфизм множеств
- •Дедекиндовые решетки
- •Дистрибутивные решетки
- •§ 8. Отношения (обобщение). Алгебраические
- •Операции над отношениями
- •Алгебраические системы
- •Глава ιι. Комбинаторный анализ
- •§ 1. Основные определения
- •Правила суммы и произведения
- •§ 2. Формулы расчета перестановок и сочетаний
- •§ 3. Бином и полином
- •§ 4. Подстановки
- •§ 5. Метод включений и исключений
- •§ 6. Метод производящих функций
- •§ 7. Комбинаторная мера информации. Вероятность искажения информации
- •Глава ιіі. Теория графов
- •§ 1. Первоначальные понятия теории графов
- •§ 2. Операции над графами. Способы задания графов Операции над графами
- •Способы задания графов
- •§ 3. Маршруты, цепи, циклы и другие характеристики графа
- •§ 4. Алгебраическая форма представления графа
- •Глава іv. Некоторые приложения графов
- •§ 1. Эйлеровы графы. Алгоритм флери. Гамильтоновы
- •Эйлеровы графы
- •Алгоритм Флери.
- •Метод построения эйлерового обхода двоичного куба
- •Гамильтоновы графы. Метод Робертса – Флореса
- •Метод перебора Робертса – Флореса
- •§ 2. Пространство циклов графа
- •§ 3. Независимое множество вершин графа
- •Алгоритм выделения пустых подграфов
- •§ 4. Вершинное число внешней устойчивости графа
- •§ 5. Плотность графа
- •Алгоритм выделения полных подграфов
- •§ 6. Раскраска графа
- •Оценки хроматического числа
- •Алгоритм минимальной раскраски вершин графа
- •§ 7. Планарность графа
- •Глава V. Оптимизационные алгоритмы теории графов
- •§ 1. Определение кратчайших путей. Алгоритм дейкстры
- •§ 2. Максимальный поток через сеть. Алгоритм
- •Алгоритм Форда – Фалкерсона
- •§ 3. Построение остова экстремального веса. Алгоритм краскала
- •§ 4. Метод ветвей и границ: задача коммивояжера. Общая модель задачи поиска
- •Дерево поиска частичных решений
- •§ 5. Применение ориентированных деревьев в задачах теории кодирования и диагностирования
- •§ 6. Построение оптимального дерева бинарного поиска. Алгоритм гильберта – мура
- •Алгоритм Гильберта – Мура построения оптимального дерева бинарного поиска Суть алгоритма
- •Алгоритм
- •§ 7. Сложность задач теории графов. Задача синтеза управляющих систем
- •Задача синтеза управляющих систем
- •Задача о выполнимости
- •Литература
- •Электронное пособие курс лекций
- •«Дискретная математика».
Метод построения эйлерового обхода двоичного куба
Двоичным п - мерным кубом называется ориентированный граф, вершинами которого являются двоичные наборы порядка п ; из вершины а этого куба существует дуга в вершину b тогда и только тогда, когда расстояние Хемминга между этими вершинами равно 1. Следовательно, таких дуг две : (a, b) и (b, a).
Под расстоянием Хемминга понимается число координат, в которых различаются двоичные наборы.
Эйлеровым обходом двоичного п - мерного куба называется такой обход, при котором по каждой из возможных дуг нужно пройти ровно по одному разу.
В двоичном кубе таких дуг может быть
Строится матрица переходов размерностью .
Построение обхода Эйлера может начинаться с любой вершины и ведется по правилам :
а) если текущая вершина четная, то производится переход в максимально возможную вершину, а если нечетная, то в минимально возможную;
б) номер следующей вершины определяется номером строки;
в) после выполнения перехода он помечается как использованный – единица заменяется на ноль.
Данные операции продолжаются до тех пор, пока все элементы матрицы не станут нулевыми, или не будет совершено ровно переходов.
Пример. □ Рассмотрим построение эйлерового обхода для двоичного куба размерности п = 3. Сначала построим матрицу всех возможных переходов двоичного куба. Пусть она имеет вид, показанный в таблице 1.
Число единиц в матрице равно , а в каждом столбце (строке) может быть только п единиц. По диагонали эта матрица содержит нулевые элементы, так как переход из вершины в себя невозможен. Смысл элементов заключается в том, чтобы хранить информацию об использовании перехода, т.е. это двоичная переменная, которая может принимать значения 1 или 0. По вертикали записываются дуги, входящие в вершины, а по горизонтали – исходящие.
По этой матрице можно осуществлять переходы, продвигаясь по контуру Эйлера. Выберем в качестве исходной нулевую вершину, Так как 0 – число четное, то осуществляем переход в максимально возможную вершину, в данном случае это вершина 4. Из четвертой вершины также по максимально возможному переходу попадаем в вершину 6. Из шестой вершины снова по максимально возможному переходу попадаем в 7-ю вершину. Седьмая вершина – нечетная, поэтому переходим в минимально возможную вершину, в данном случае в третью. Число 3 тоже нечетное, поэтому переходим опять в минимально возможную – первую вершину.
Таблица 1
№ вершин |
0 (000) |
1 (001) |
2 (010) |
3 (011) |
4 (100) |
5 (101) |
6 (110) |
7 (111) |
0 (000) |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 (001) |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 (010) |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 (011) |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 (100) |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
5 (101) |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
6 (110) |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
7 (111) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 5.2
После завершения перехода получим следующий контур :
.
Граф данного обхода показан на рис. 5.2, а в таблице 1 показана смена битов. ■