Изоморфизм множеств

Изоморфизм ( гр. изо – равный, одинаковый, подобный; morphē – вид, форма ) с математической точки зрения : свойство одинаковости строения каких – либо совокупностей элементов, совершенно безразличное к природе этих элементов.

Множества М и М * изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие такое, что для найдется такой, что и существует обратное взаимно однозначное соответствие такое, что для найдется такой, что .

Упорядоченные множества М и М * изоморфны , если между ними существует изоморфизм, сохраняющий порядок, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между М и М *, когда из следует и наоборот: из следует .

Пример.□ Любые две алгебры множеств, образованные различными

множествами U и U * одинаковой мощности, изоморфны : операции у них просто одинаковы, а отображением может служить любое взаимно однозначное соответствие между U и U *. ■

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его суть можно выразить следующим образом : если алгебры А и А* изоморфны, то элементы и операции в алгебре А* можно переименовать так, что А* совпадет с А. Из условия изоморфизма следует, что, например, любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Выражение “рассматривать объекты с точностью до изоморфизма” означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.

Установлено, что алгебра множеств изоморфна булевой алгебре, рассматриваемой в разделе “Математическая логика”.

Дедекиндовые решетки

Решетка А называется дедекиндовой (модулярной) тогда и только тогда , когда для всех таких m_i, m_j, , что .

Критерий дедекиндовости решетки: решетка А

дедекиндова тогда и только тогда, когда она не

содержит подрешетки, изоморфной решетке А_т .

Решетка А_т содержит один элемент нулевой высоты (1), два элемента единичной высоты (2,3) и по одному элементу, высота которых 2 и 3.

В решетке А_т существуют элементы, для которых условие дедекиндовости не выполняется.

Покажем это:

3 .

Дистрибутивные решетки

Решетка А называется дистрибутивной, если для

она удовлетворяет тождествам: ,

.

Критерий дистрибутивности решетки : решетка А дистрибутивна тогда и только тогда, когда она дедекиндова и не содержит подрешетки, изоморфной решетке A_g .

Решетка A_g содержит три цепи длины 2, состоящие из одного элемента нулевой высоты, трех элементов единичной высоты и одного элемента высоты 2.

В решетке A_g существуют элементы, для которых свойство дистрибутивности не выполняется:

.