28.Основные типы тождественных преобразований и этапы их изучения.

Основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобр-й несет на себе курс школьной алгебры. Можно выделить следующие этапы освоения применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул:1 начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Цель этого этапа – достичь беглости в выполнении задании на решении простейших уравнений, упрощения формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислении с опорой на свойства действий. 2 формировании навыков применения конкретных видов преобразования. Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложении. Освоения соответствующих видов преобразовании начинается с введения формул сокращенного умножения. затем рассматривается преобр., связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функции - показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобр., и на этой основе ввести понятие тождественного и равносильного преоб-й. понятие тождественных преобр. Дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобр. Разделяются на два класса: тождественные преобр-я – это преобр. Выражении, а равносильные – преобр, формул. В случае, когда возникает потрбность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тожд. преобр. Соответствующий предикат при этом считается неизменным. 3 организация целостной системы преобразований. Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования решения разнообразных учебных задании.

Развертывание второго этапа изучения преобр. происходит на протяжении всего курса алгебры неполной средней школы. Переход 3-ему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмыслении уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобр-й. необходимо упомянуть об одном типе преобр-й, специфическом для курса алгебры и начал анализа. Это пребр-е выражении,содержащих предельные переходы, и преобр-я, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. Тождества, изучаемая в школьном курсе алгебры и алгебраическом материале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса 1-ое состоит из тождеств сокрашенного умножения , справедливых в любом коммутативном кольце и тождества

справедливо в любом поле. 2-ой образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а так же композиции элементарных функций.

29.методика обуч док тож В кач-ве опоры, на кот-ой строятся док-ва тож­д-в, исполь-ся св-ва ариф-их операций. Особенно при изуч. тожд-в для тригон-их ф-ий, к док-ам привлекаются геом-ие понятия и ме­тоды, гл. образом, связ-ые с геом-ми велич-ми и с коор-ой пл-тью. Геом-ие док-ва некоторых тождеств не т/о поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей; их поэтому полезно рассм-ать наряду с док-ми ал­гебр-го характера.

Док-ва тождеств м/о разделить на 3 типа в зави­с-ти от того, насколько они удов. требов-ям стро­гости :

а) неполностью строгие рассуждения, требующие использ-ия метода матем. индукции для придания им полной строгости. Эти док-ва примен-ся для вывода правил дейст­вий с многочл-ми, свойств ст. с натур показ;

б) полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные св-ва ариф-их действий (т. е. на св-ва, служащие аксиомами для понятия поля) и не исполь-ие др. свойств числовой системы. Основная область применения таких док-в — тожд. сокращ-го умнож-ия;

в) полностью строгие рассуждения, исполь-ие усл разрешимости уравнений вида φ(х) = а, где φ - изуч-ая элем-ая ф-ия. Такие док-ва характерны для вывода свойств ст. с рац-ым показ-ем и логариф-ой ф-ии.

Пр-ры показывающие особенности методики изуч. док-в каждого типа:

Пр.1 (док-во типа а). К этому типу относится док-во основ. св-ва ст. для натур-ых пока­з-ей: a^ka^p = a^k+p. Запись этого док-ва имеет вид: . Для того чтобы док-во было усвоенным, после него рас­см-ся пр-ры на произведение ст-ей с один-ым основ. и числовыми показ-ми ст.; может встретиться пр: а³а⁴=(ааа)(аааа) =а⁷, здесь вос­производят выкладки при док-ве общ. факта. Однако такие пр. хорошо иллюстр-ют т/о способ док-ва для частного случая, но характерная особенность общ способа док-ва здесь не проявл-ся. Для выявления струк­туры док-ва рассм пр, в кот-ом показ. ст. были бы дост-но велики, напр. а¹¹¹ а²²² = а³³³; здесь упрощения, связанные с тем, что выкладки могут быть проведены полностью, в конечном виде, не применимы. На таких данных воспроизведение схемы док-ва сохр-ет наиболее существенный момент — изображение произведения боль­шого числа сомножителей (одинаковых) при помощи спец. знака «...»:

В этом рассужд-ии числа (показ. ст-ей) играют роль переменных. По этому образцу м/о повторить рассужд-ие для любого др. набора показ-ей ст., так что оно имеет общ. характер. Нек-ые док-ва утверж-ий м/о провести в нем т/о на такого рода пр-ах. Правила действий с многочл-ми формируются в рез-те рассм-ния нескольких пр., кот-ые подготавливают общ. словесную формулировку правила.

Пр.2. (док-во типа б). Док-ва этого типа наиболее характерны для курса алгебры и одновр-но наиболее просты. В них исполь-ся т/о сравнительно прочные навыки проведения действий с букв-ми выраж-ми -рас­крыть скобки, привести подобные слаг-ые, выделить общ множ-ль и др. В силу своей простоты и доступности именно эти док-ва целесообразно проводить в развернутом виде, поясняя все сделанные переходы. При этом уч-ки смогут осознать смысл и приемы исполь-ия основ. свойств ариф-их действий.

Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращ-го умнож-ия, допускают наглядно-геом-ую иллюстрацию. Це­лесообразно рассм-ть несколько подобных пр-ов, моделируя на них алгебр-ие выкладки, и одновременно подчеркнуть, что алгебр-ая формулировка и док-во имеют большую область применимости - они охватывают и полож. и отри­ц. ч., и 0.

Пр.3. (док-во типа в). Такие док-ва относятся к труднейшим в курсе шк. матем. Сложность их проведения опред-ся несколькими причинами. Наиболее существенная из них состоит в том, что в отличие от разобран­ных выше док-ва этого типа используют дост-но слож­ные логич-ие средства.

Пр. Рассм док-во св-ва ариф­м-го квадратного корня: (1)

Док-во опирается на след. переформулировку оп­р. кв. корня: для неотриц-ых чисел х, у рав-ва у²=х и y = равносильны, при этом число у определе­но однозначно как ф-ия от х. Из этой переформ-ки следует, что (1) равносильно (2)

Рав-во (2) док-ть уже сравнительно просто, однако приво­дящий к нему путь очень труден для уч-ся.

Определенную роль здесь играет то, что по сравнению с док-ом формулы (2) переход (])=>(2) происходит мгновенно, и для уяснения этого перехода требуется серьезное напряжение вни­мания уч-ка.

Еще одна причина, усложняющая усвоение приведенного док-ва, относится уже не к нему, а к положению, кот-ое занимают док-ва в системе изуч свойств арифм-го кв. корня. Рассм-ое св-во исполь-ся в док-ве др свойств, напр. , кот-ые док-ся легче, без привлечения описанных здесь переходов. Поэтому прием, на кот-ом основано док-во св-ва (1), остается неразвитым.

Нужно поэтому усилить внимание к приведенному типу док-в. Этого м/о достигнуть за счет подчеркивания ос­нов. идеи док-ва: сопоставления двух операций (или ф-ий) - прямой и обратной к ней. Для выделения указ-ой идеи м/о рассм-ать в сравнении ее применение в разл-ых ситуациях. Напр., полезно сопоставить док-во, приве­денное здесь, с док-ом основного св-ва логарифмов. Это док-во играет роль образца, с кот-ым по­след-но сравниваются действия, производимые при док-ве соот-го св-ва логар-ма:

30.многоугольникВ геометрии 7-9 классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению ве­личин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы.

Систематическое изучение плоских многоугольников базируется на сформированных в 1-3 классах представлениях о простейших геометрических фигурах и служит средством развития логического мышления учащихся. Здесь вводится много определений, доказыва­ются содержательные теоремы, ведется работа по формированию понятий свойство и признак. В 1 классе дети считают элементы многоугольников: вершины, стороны, углы, измеряют их стороны. Разбитый на равные квадраты прямоугольник используется во 2 классе для иллюстрации переместительного закона умножения, задача на нахождение пери­метра прямоугольника рассматривается в связи с изучением рас­пределительного закона умножения относительно сложения. В 3 классе формируются представления о площади фигуры, основное внимание при этом уделяется вычислению площади прямоугольника и квадрата.

При обучении элементам геометрии в 5-6 классах многоуголь­ник выступает не только как средство изучения арифметики и эле­ментов алгебры, но и как объект изучения. Большое внимание уделяется развитию пространственных представлений учащихся работе с изображением отрезка, ломаной, угла, многоугольника, многогранника. Основным для получения результатов яв/ся конкретно-индуктивный метод.

Этот раздел шк-го курса геометрии выполняет и определен­ные мировоззренческие функции. Уче­ники знакомятся с историей отдельных вопросов, узнают об их месте и роли в практической деятельности человека. При изучении многоугольников идет формирование знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных дисциплин: физики, черчения, трудового обучения и др.

Изученные в курсе планиметрии св-ва и признаки многоуголь­ников находят широкое применение в курсе стереометрии.

В различных школьных курсах планиметрии понятие многоуголь­ников трактуется по-разному.

В одних курсах многоугольник А₁, А₂, ..., Аn, трактуется как фигура, состоящая из отрезков А₁ А_2,,..А_nА_n-1, любые 2 из к-рых, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой. В этом случае при рассмотрении площади многоугольни­ков под каждым из них понимается соответствующий плоский многоуголь­ник.

В других курсах простой многоугольник трактуется с самого начала как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной.