25. Этапы решения задач на составление уравнений.

В методике общепринято следующее деление процесса решения задачи: 1.анализ текста; 2.поиск способа решения задачи и составление плана решения; 3.осуществление найденного плана; 4.изучение (анализ) найденного решения.

На первом этапе учитель должен добиться того, чтобы учащиеся поняли смысл задачи. В этом случае задача становится объектом мышления.

Исходом здесь является выделение в задаче условия, т.е. данных и отношений между ними и требования задачи, т.е. искомого и отношений между ними.

Важное значение имеют краткая запись текста задачи, составление схем, рисунков. Схемы и рисунки выступают в роли наглядного представления содержания задачи и зависимостей величин, входящих в нее. Еще большее значение приобретает схема в роли модели, выявляющей скрытые зависимости между величинами. Поэтому составлению кратких записей и схем по тексту задачи необходимо обучать.

На 2 этапе важным заданием является выяснение стратегии решения задачи: 1.устанавливается, будет ли неизвестной относительно которой составляется уравнение искомая величина или же промежуточные величины. Если принято найти сначала промежуточную величину, то искомая величина выражается через нее. 2.по некоторому компоненту основного отношения будет составлено уравнение или оно будет составлено с использованием всех его компонентов.

На 3 этапе осуществляется план решения, выполняется проверка решения и записывается полученный ответ.

4 этап. Здесь анализ имеет своей целью выделение главной идеи решения, существенных его моментов, обобщение решения задач данного типа. Выясняются недостатки решения и производится поиск другого, более рационального решения.

26.Перпендикулярность прямых на плоскости

Учение о перпендикулярности прямых в ср.школе имеет в основе понятие угла между прямыми и умение измерить величину угла. Случай перп.прямых появ.при рассмотрении пересек.прямых.В том числе, если угол межу прямыми 90˚, прямые наз-ся перп.Примеры перп.прямых в окр.жизни убеждают уч-ся в их существовании, в их боль.значимости для практики.

После опред-я перп. Прямых вводится спец.символика, проводится обучение уч-ся исп-ю ввод-ой символики при вып-и записей, обучение чтению записей, в кот-х исп.символика

Док-во единств-ти (!) перпендикуляра к прямой, прох-го через дан.точку, может опир-ся на разн.положения В 1х учебниках при док-ве !-ти исп. Аксиома отклад-я угла, в других- исп.положение о том, что в ∆-ке не может быть 2х прям.углов.

Свойство середин. перпендикуляра к отрезку нужно сформулировать в виде теоремы: «Если точка лежит на середин. перпендикуляре к отрезку, то она равноуд-на от концов этого отрезка»

Верно и обратное: «если точка равноуд-на от концов некот.отрезка,то она лежит на середин. перпендикуляре»

После теоремы решается задача: через т. D вне прямой a провести перп-р к пр. a

В процессе так.работы фомир-ся постеп-о представления уч-ся о необходимых и достаточ.усл-ях, кот-е игр. боль.роль в дальней. построении курса мат-ки ср.школы.

Уч-ся надо разъяснитть, что формулировка теоремы со словами «в том и только том случае» и «тогда и только тогда» вкл. в себя 2 теоремы-пр. и обр.

В разделе о перп-ти прямых на плск рассм-ся понятие наколонной к дан.прямой. Поскольку через дан.точкук проходит только 1 перп-р к дан. прямой, то все остальне прямые,прох-е через эту точку(кроме прямой, паралл-ой ей)наз.наклонными к дан. прямой

Через дан.точку к дан.прямой м.провести сколько угодно наклонных, а перп-р только1.

Учит-лю надо быть осторожным с терминологией: в 1м случае перп-р и наклонные выступают как геом.фигуры-прямые, в другом-как величины

Это дел-ся для краткости формулировок теорем, раскр-х cв-ва перп-ра и накл-х, проводимых из 1 и той же точки к 1 и той же прямой

После этого рассмотрение соотв. теоремы не вызывает трудностей

27.специфика и труд первых уроков планиметрОсобые трудности вызывают первые уроки систематического курса планиметрии, на которых систематизируются полученные ранее знания о взаимном расположении прямых на плоскости, поэтому разработка методики их проведения требует особого внимания. Это обусловлено целым рядом причин: психическими особенностями учащихся этого возраста, выделением курса геомет­рии в отдельную учебную дисциплину и новизной его структуры, резким повышением уровня строгости логических рассуждений, введением большого числа новых понятий, терминов, новой сим­волики, повышением уровня абстрактности изучаемого материала, новым содержанием заданного материала, недостаточной раз­витостью пространственных представлений и пространственного воображения учащихся, несформированностью умений и навыков обобщения, абстрагирования. Методика преподавания первых разделов курса планиметрии предполагает постепенный, плавный переход от конкретного к общему, постоянное обращение к ок­ружающей действительности и другим видам наглядности, при­стальное внимание обучению учащихся умению логически рас­суждать, обосновывать, доказывать высказываемые предложения, ориентироваться в изучаемых математических предложениях — аксиомах, определениях, теоремах, которые для них являются но­выми. С самых первых этапов изучения геометрии необходимо в единую систему увязать рассказ учителя, текст учебника, соот­ветствующие записи на доске и в тетради с рисунками, являющиеся опорой для учащихся при самостоятельной работе. На первом уроке геометрии необходимо учащихся познакомить с историей возникновения геометрии.

осторожность требуется в обучении учащихся первым доказательствам. Надо сказать, что в числе первых уча­щимся дается метод доказательства от противного, который вы­зывает у них наибольшие трудности. В процессе доказательства методом от противного необходимо выделить все его этапы, дать им характеристику, сделать соответствующую запись алгоритма рассуждений.

Ниже приводится доказательство одного из предложений ме­тодом от противного: «Две различные прямые не могут иметь более одной общей точки».

Дано: а и b — различные прямые.

Доказать: a и bне могут иметь более одной общей точки

Доказательство.

1. Предположить, что истинно предложение, противоположное тому, что нужно доказать.( 1. Предположим, что различные прямые а и b имеют более)

2. В результате рассуждений получить вывод, противореча­щий известному истинному предложению.(2 Если прямые а и Ь имеют две общие точки, то получим, что через две точки проходят две различные прямые а и 6. Это противоречит основному свой­ству (аксиоме) прямой)

3. Сделать вывод о том, что высказанное предположение не верно.( 3. Предположение о том, что различные прямые а к b име­ют более одной общей точки, неверно)

4. Сделать общий вывод.(4. Две различные прямые не могут иметь более одной об­щей точки.)

Учитель должен знать, что в рассуждениях методом от против­ного используется формально-логический закон «исключенного третьего». В данном случае истинным является одно из двух пред­ложений, третьего быть не должно:

а) две различные прямые а и b не могут иметь более одной общей точки;

б) две различные прямые а и b могут иметь более одной общей точки.

На основе вышеизложенного можно сделать вывод: две раз­личные прямые на плоскости или имеют только одну общую точку, или совсем не имеют общих точек. Если две прямые имеют только одну общую точку, то они называются пересекающимися.