22. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований.

Основной принцип организации любой системы заданий предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем задания в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнения характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобр-ям представления о цикле может быть дано следующим образом. Цикл упражнении связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемая применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества, в частности, организуются связанные с ним обороты речи. Задания в каждом цикле разбиты на две группы: 1. задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой. 2. связывает изучаемое тождества с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнение здесь разобраны по различным темам. Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе синтеза цикла видоизменяются 1. объединяются обе группы заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения задании. Оставшиеся типы задании усложняются; 2. происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу чего повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

23. Пропедевтика алгебраического метода решения текстовых задач. Основы методики обучения решению задач методом составления уравнения.

Решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений.

В курсе мат-ки 4-8 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач.

Остановимся на некоторых основных вопросах пропедевтической работы по составлению уравнений при решении текстовых задач. Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и мат-ие навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык.

1этап. К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие умения внимательно читать текст задачи; умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять условие и вопрос задачи; умение оформлять краткую запись текста; задачи; умение выполнять чертежи по тексту задачи.

Приемы, формирующие умение читать текст задачи: показ образцов правильного чтения задачи; проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее содержания. Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи: выявление роли вопроса в нахождении способа задачи; формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи; нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи; составление задачи по вопросу. Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи: оформление краткой записи в виде таблицы, схемы; оформление краткой записи в строку (столбец); чтение краткой записи задачи; составление задачи по ее краткой записи. Приемы обучения выполнению чертежей по тексту задачи: предъявление заданий, требующих только выполнения соответствующего рисунка; чтение рисунка, выполненного по тексту задачи; составление задачи по чертежу.

2этап. Важным моментом здесь является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений, рассматриваются конкретные текстовые задачи и после прочтения их учащимися предлагается ответить на ряд вопросов.

В каждой текстовой задаче отражается одна или несколько связанных между собой ситуаций, формализуемых некоторым основным отношением. Типичным примером такого отношения является формула ab=c, имеющая большое число разнообразных проявлений (связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения; связь цены, стоимости и количества изделий и т.д.). Действия по распознаванию таких ситуаций, их сопоставлению и преобразованию выражающих их формул – основная часть работы по составлению математических моделей текстовых задач. Опыт преподавания математики в школе показывает, что эффективной наглядной моделью поиска решения текстовых задач алгебраическим методом является табличная форма записи тех отношений, которые включает данные, искомые, условия и требования задачи. Аналогично может быть реализовано основное отношение другого вида, например а1+а2=а3

24.Роль первых понятийНа первых уроках систематического курса планиметрии вво­дятся такие понятия, как «отрезок», «луч», «угол», которым дается формально-логическое определение. Перед их изучением вво­дятся свойства расположения точек на прямой.

В учебных пособиях по геометрии отрезок и луч рассматри­ваются как части прямой, что следует особо подчеркнуть. Прежде чем сформулировать их определение, необходимо, используя имеющиеся наглядные представления учащихся об этих объектах, выделить отдельные его части.

В процессе введения понятия отрезка можно выделить его части и изобразить их на рисунке различными цветами:

а) отрезок — это часть прямой;

б) две точки — концы отрезка, принадлежащие ему, особо выделены;

в) отрезку принадлежат все точки, лежащие между его кон­цами.

После анализа понятия отрезка можно перейти к формулировке его определения, соединяя все выделенные части воедино (синтез).

Понятие луча вводится аналогично понятию отрезка.

Важно разъяснить учащимся, что луч — фигура неограничен­ная. Лучше всего это сделать в процессе выполнения упражне­ний на взаимное расположение отрезков и лучей.

Формирование понятия угла ведется по аналогии с формиро­ванием понятия отрезка.

Вопросы о взаимном расположении прямых изучаются одними из первых в систематическом курсе планиметрии, а поэтому тре­буют особого внимания к разработке их содержания и методики преподавания. Уже при изучении этих разделов целесообразно в доступной для учащихся форме раскрывать роль аксиом, соз­давать первые представления об аксиомах как о рабочем инстру­менте при построении геометрии.

В имеющейся учебной литературе по геометрии для средней школы представлена различная последовательность изучения раз­делов о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости после введения понятий пересекающихся и непересекающихся прямых.

В учебном пособии А.В.Погорелоаа введение поня­тия параллельных прямых и аксиома параллельных прямых пред­шествуют изучению перпендикулярных прямых.

Существование параллельных прямых на плоскости, признаки параллельности прямых, построение параллельных прямых с по­мощью циркуля и линейки излагаются после изучения раздела о перпендикулярных прямых.

Большая роль при изучении раздела о взаимном расположе­нии прямых отводится аксиоме: через любые две точки можно провести прямую и только одну.

В учебном пособии А. В. Погорелова аксиомы в начале систе­матического курса планиметрии названы основными свойствами. Только после введения всех основных свойств, на которых стро­ится курс планиметрии, их называют аксиомами и вводится соот­ветствующий термин.

В начале изучения взаимного расположения прямых на плоско­сти целесообразно дать учащимся общую картину взаимного рас­положения двух прямых на плоскости. Это позволит им сразу охватить основные отношения между двумя прямыми: две прямые имеют только одну общую точку; все точки двух прямых общие — две прямые совпадают; две прямые на плоскости совсем не имеют общих точек — две прямые параллельны.

Учитель с этой целью может провести с учащимися класса беседу по вопросам, ответы на которые требуют знания уже вве­денных аксиом:

1. Могут ли две прямые на плоскости иметь только две общие точки? Совпадают.

2. Могут ли две прямые на плоскости иметь только одну об­щую точку? Пересекаются.

3. Могут ли две прямые на плоскости совсем не иметь общих точек? Параллельные.

Существует два подхода изложения слившихся прямых:

1) случай совпадения двух прямых не рассматривать в даль­нейшем, как не представляющий интереса; если речь идет о двух прямых, то их всегда надо представлять себе различными;

2) две совпадающие прямые считают параллельными, а сле­довательно, параллельные прямые или совсем не имеют общих точек, или совпадают;

Параллельность прямых на плоскости

В процессе беседы с учащимися о взаимном расположении двух прямых надо постоянно подчеркивать, что речь идет о прямых на плоскости.

Итог беседы иллюстрируется таблицей

Схема может быть другой, если совпадающие прямые рас­сматриваются как параллельные.

Дальнейшее изложение этого раздела ведется по следующему плану:

1. Параллельные прямые.

2. Перпендикулярные прямые.

Учение о параллельности прямых в курсе планиметрии можно разделить на следующие части:

— определение параллельных прямых;

— существование параллельных прямых;

— построение параллельных прямых;

— аксиома параллельных;

— свойства параллельных прямых;

— признаки параллельности прямых;

— применение изученной теории к решению задач.

В учебном пособии по геометрии А. В. Погорелова [134] и в пробном учебнике Л. С. Атанасяна и др. [30] рассматриваются только два случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые пересекаются (имеют только одну общую точку) и прямые не пересекаются (совсем не имеют общих точек). Поэтому и определения параллельных прямых в этих пособиях даются соот­ветствующим образом: или как прямые на плоскости, которые не пересекаются, или как прямые на плоскости, не имеющие общих точек. Эти определения параллельных прямых на плоскости экви­валентны друг другу.

Две прямые называются параллельными, если они:

1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются

1) лежат в одной плоскости; 2) не имеют общих точек или совпа­дают.

1) лежат в одной плоскости; 2) не имеют общих точек.

Вопрос сосуществовании параллельных прямых также реша­ется неодинаково в имеющихся учебных пособиях. Здесь можно отметить два ярко выраженных подхода:

1)рассматривается специальная теорема, показывающая существование параллельных прямых, а затем дается аксиома параллельных;

2) рассматривается аксиома параллельных, а затем доказы­вается теорема, показывающая существование таких прямых.

Большую роль в изучении параллельных прямых играет аксиома параллельных.

В имеющейся учебной литературе приведены различные формули­ровки аксиомы параллельных:

1. «Через данную точку проходит не более одной прямой, па­раллельной данной прямой» или «Через точку, не лежащую на данной прямей, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной».

2. «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной».