§8 Перспективний масштаб

При створенні картини художник змушений розв’язувати два типи задач. Перший тип задач це ті, в яких йдеться про різні випадки взаємного розміщення просторових фігур та їх елементів. Їх називають позиційними. Але для побудови зображення на картині реальних предметів потрібно знати їх метричні властивості, а саме розміри як самих предметів, так і їх окремих частин, та відстані між предметами в просторі та відстані від предметів до картини, тобто розвязувати метричні задачі. Якщо при створенні картини необхідно побудувати в перспективі зображення просторової фігури за її розмірами, то ми розв’язуємо пряму метричну задачу. Якщо ж встановлюємо розміри зображених пред­ме­тів чи їх частин або відстані між зображеними предметами, то розв’язуємо зворотну мет­ри­чну задачу.

Одним з основних засобів розв’язування метричних задач є застосування мас­штабу. З допомогою масштабу ми маємо змогу встановити співвідношення між нату­ральними та перспективними розмірами предметів, що зображені на картині. Для цього необхідно знати довжині якого відрізка в дійсності відповідає один сантиметр (один дециметр, один метр) картини, тобто масштаб картини.

Для визначення масштабу картини досить знати дві величини: висоту точки зору та відстань від основи картини до лінії горизонту. Якщо висота точки зору дорівнює 160 см, а відстань від основи картини до лінії горизонту 80 см, то натуральна лінійна одиниця 1м відповідатиме 0,8:1,6=0,5 м (50 см) на картині. Таким чином, якщо відрізок розташований в площині картини і має довжину 50 см, то натуральна його довжина становить 1 м.

Як випливає з рис. 30, розміри предмета, який зображають на картині зменшуються тим більше, чим далі він розташований від картини. Отже довжина перспективного відрізка прямої є величиною змінною. Ця величина визначається перспективним масш­табом.

У відповідності з напрямком вимірювання в предметному просторі, виділяють три напрямки:

1. напрямок глибини, тобто прямих, розташованих перпендикулярно до картини;

2. напрямок широти, тобто прямих, розташованих паралельно до основи картини;

3. напрямок висоти, тобто напрямок прямих, розташованих перпендикулярно до предметної площини.

У відповідності до головних напрямків будують перспективні масштаби глибин, широт, висот.

Масштаб глибин. Мас­штаб, побудований на прямій, перпендикулярній до площини картини, називається масш­та­бом глибин. Розглянемо його побудову на проецію­валь­но­му апараті (Рис. 53, а). Нехай - деяка горизонтальна пря­ма предметної площини, пер­­пен­дикулярна до площини кар­тини (глибинна пряма), - її картинний слід. На основі кар­тини від точки відкла­демо від­різки , , заданої довжини. У предметній площини через точки , , проведемо прямі під кутом до основи картини до перетину з глибинною прямою (Рис. 53, б). Трикутники , , - прямокутні рівнобедрені. Отже , , . Тому .

П обудуємо перспективу глибинної прямої разом із заданими відрізками , , на ній. Для побудови глибинної прямої досить сполучити її картинний слід з головною точкою картини (Рис. 53, в). Дистанційна точка D₂ буде спільною граничною точкою в’язки паралельних прямих , , . Від перетину прямих 1₀D₂, 2₀D₂, 3₀D₂ з перспективою глибинної прямої одержимо точки 1, 2, 3. Очевидно, що відрізки , 1-2, 2-3 – перспективи відрізків, що відкладено на основі картини. Прямі 1₀D₂, 2₀D₂, 3₀D₂ називають лініями переносу.

Отже для побудови перспективного масштабу глибин натуральний масштаб, заданий на основі картини, переносять на глибинну пряму з допомогою ліній переносу, точкою сходу для яких є дистанційна точка.

На картині (Рис. 54, а) зо­б­ражено глибинну пряму та точ­ку А на ній. На цій прямій від точ­ки А відкласти відрізок АВ, довжина якого дорівнює 1м. Нехай відомо, що висота точки зору дорівнює 1м. Тоді відстань від лінії горизонту до основи картини також дорівнює 1м в масштабі картини. Побудову здійснимо в такій послі­довності:

• через точки та А проведемо пряму до перетину з основою картини;

• від точки А₀ на основі картини відкладемо відрізок А₀В₀, довжина якого в масштабі картини дорівнює 1 м;

• від перетину прямої з глибинною прямою одержимо шукану точку В.

Нехай тепер на картині (Рис. 54, б) задано відрізок глибинної прямої АВ і необхідно знайти його довжину. Для цього досить провести прямі та до перетину з основою картини. На картині відношення довжини відрізка А₀В₀ до відстані від лінії горизонту до основи картини дорівнює 5:3. Оскільки висота точки зору 1,5 м, то довжина відрізка АВ – 2,5 м у масштабі картини.

Д ля того, щоб зображення, виконане методом центрального проектування, було наочним, тобто створювало уявлення безпосереднього візуального спосте­ре­ження пред­ме­ту, необхідно, щоб відстань від точки зору до картини була в 2-3 рази більшою за діагональ картини. Це означає, що дистанційні точки картини, в переважній більшості випадків, розташовані поза межами картини, що значно ускладнює побудови. У таких випадках для побудови масштабу глибин користуються так званою дробовою дистанційною точкою.

Застосування дробової дис­танційної точки розглянемо на прикладі (Рис. 55, а). На гли­бинній прямій А₀Р побу­ду­вати відрізок А₀В довжина якого до­рів­нює а. Для цього на основі картини від точки А₀ відкладемо відрізок А₀В₀, довжина якого в а разів більша за відстань між лі­нією горизонту та основою кар­тини. Зафіксуємо точку В пере­тину прямих та А₀Р . Одержимо перспективний відрізок А₀В=а. Ту саму точку В одержимо від перетину глибинної прямої з відрізком, що сполучає середини відрізків РD та А₀В₀. Якщо сполучити точку, яка визначає чверть відрізка натурального масштабу з точкою .

Отже, нехай дистанційна точка картини розташована поза її межами і немає змоги скористатися повною дистанційною відстанню. Тоді

• визначаємо певну її частину , яка розташована в межах картини на лінії горизонту і використовуємо цю точку за точку сходу;

• ділимо натуральний масштаб а на n рівних частин;

• будуємо лінію переносу, що сполучає вказані вище точки. Від перетину з глибинною прямою одержуємо шукану точку.

Масштаб широт. Масштаб, побудований на прямій, що паралельна до основи кар­тини, нази­ва­ють масштабом широт. Розглянемо його побудову на проеці­ювальному апа­ра­ті (Рис. 56, а). Нехай у предметній площині про­ве­дено пряму, паралельну до основи картини, і на цій прямій зафіксовано точ­ку . На основі кар­ти­ни за­дано довільні відрізки , , . Відкладемо їх довжини на заданій в пред­метній площині прямій від точки на ній. Для цього досить сполучити точку А₀ з і через точки 1₀, 2₀ та 3₀ провести прямі, паралельні до як це зроблено на рисунку 56, б.

Побудову перспективи цієї комбінації прямих та відрізків проводять в такій послі­довності:

1. будуємо перспективу А точки предметної площини;

2. у площині картини через точку А проводимо пряму, паралельну до основи картини;

3. будуємо граничну точку від перетину лінії горизонту з прямою . Вона відповідатиме точці, одержаної від перетину променя зору, паралельного до прямої з лінією горизонту;

4. від перетину ліній переносу , з побудованою на картині прямою, одержуємо шукані точки 1, 2 та 3, такі що відрізки А-1, 1-2, 2-3 є перспективними зображеннями натуральних відрізків, відкладених на основі картини.

Отже для побудови перспективного масштабу широт натуральний масштаб з ос­нови картини переносять на задану пряму з допомогою ліній переносу, побудувавши їх спіль­ну точку сходу так, як вказано в п.3.

Н а картині (Рис. 57, а) задано пряму, проведену пара­ле­ль­но до основи картини з то­ч­кою А на ній. Необхідно від то­ч­ки А відкласти відрізок, довжина якого дорівнює 3 м у масштабі картини. Для цього проводимо глибинну пря­му РА до перетину А₀ з ос­новою кар­ти­ни. На основі картини від точки А₀ відкладаємо відрізок А₀В₀, довжина якого дорівнює 3 м у масштабі картини. Від перетину прямої РВ₀ із заданою прямою одержимо шукану точку В. Відрізок АВ матиме довжину 3м у масштабі картини.

Нехай на картині задано горизонтальний відрізок. Для визначення його довжини вибирають на лінії горизонту або головну, або будь-яку іншу точку сходу ліній переносу. Для визначення натуральної величини заданого відрізка досить через вибрану точку Р або (Рис. 58) та кінці відрізка про­вести прямі до перетину з основою картини.

М асштаб висот. Масштаб, побудований на прямій, перпендикулярній до основи картини, називають масштабом висот. Розглянемо проеціювальний апарат (Рис. 59, а) у предметному просторі якого задано вертикальну пряму , що перетинає предметну площину в точці . На бічній правій стороні картини (пряма ) відкладемо натуральні відрізки , , у масштабі картини. Паралельними прямими та визначається площина , картинним слідом якої буде пряма , а предметним – . Для перенесення на пря­му масштабних відрізків, за­да­них на прямій , досить у площині через точки 1_К, 2_К, 3_К провести прямі, паралельні з до перетину з прямою . В результаті на прямій одержимо відрізки , , , відповідно рівні з відрізками , , , що відкладено на прямій .

Побудуємо описану комбінацію прямих та відрізків у перспективі. Оскільки пряма перпендикулярна до предметної площини і відомо її предметний слід , то для побу­дови її перспективного зображення досить встановити перспективу А точки і через неї провести в площині картини вертикальну пряму. Промінь зору, паралельний до пред­метного сліду площини , перетне картинну площину в точці . Точка лежа­тиме на лінії горизонту і, взагалі кажучи, не співпадатиме з головною точкою картини. Картинні сліди А₀, 1_К, 2_К, 3_К паралельних прямих , , , відомі. Їх спільну граничну точку знайдено. Для побудови перспектив вказаних вище прямих досить сполучити точки А₀, 1_К, 2_К, 3_К з точкою . Прямі , , , будуть перспективами ліній переносу натурального масштабу. Від їх перетину з перспективою прямої , одержимо точки 1, 2, 3. Перспективні відрізки А–1, 1–2, 2–3 матимуть довжину натуральних відрізків , , у масштабі картини (Рис. 59, б).

У прикладі, наведеному щойно, картинний слід пло­щини , який містив натуральні відрізки, співпадав з краєм картини. Це спростило побудову, оскільки розвантажило картину від зайвих допоміжних ліній.

Взагалі ж, картинний слід з натуральними відрізками, залежно від вибору напрямку допоміжної площини, може бути побудовано в будь-якому місці картини. Точка сходу ліній переносу на горизонті визначатиметься в кожному конкретному випадку. Для її встановлення досить знайти граничну точку предметного сліду площини . При цьому результат побудови масштабу висот не зміниться (Рис. 60).

Н а картині (Рис. 61) зображено вертикальну пряму а і задано її предметний слід А. На прямій а від точки А відкладемо відрізок, натуральна довжина якого дорівнює 3м при заданій одиниці масштабу. Для цього заключимо пряму а в довільну горизонтально-проектуючу площину (перпен­дикулярну до предметної пло­щини) і встановимо граничну точку та картин­ний слід А₀ її предметного сліду. У картинній площині через точку А₀ проведемо вертикальну пряму. Відкладемо на побудованій прямій від точки А₀ три відрізки, довжина кожного з яких дорівнює 1 м натурального масштабу. Одержимо точку А_К. Від перетину лінії переносу з прямою а одержимо шукану точку В. Перспективний відрізок АВ матиме довжину 3 м у масштабі картини.

Н а картині (Рис. 62) задано два вертикальних відрізки та одиницю масштабу. Встановимо довжини цих відрізків. З цією метою включимо задані відрізки у горизонтально-про­ектуючі площини, за які, не втрачаючи загаль­ності, мож­на ви­брати глибинні площини. Тоді граничною точкою пред­метних слідів таких площин буде головна точка картини. Продовжимо прямі РА та РЕ до перетину з основою кар­тини. Одержимо точки А₀ та Е₀, через які в площині картини слід провести вертикальні прямі a та е. Точки B_K та L_K одержимо від перетину прямих а та е з прямими PB та PL відповідно. Довжини відрізків А₀B_K та Е₀L_K у масштабі картини дадуть дійсні їх розміри.