§2. Позиційні задачі на побудову

Перш ніж почати вивчення теорії побудови зображень в перспективі, пригадаємо декілька теоретичних питань щодо цих побудов. Зауважимо, що задачі, в яких вимагається побудувати зображення спільної точки прямої і поверхні (зокрема площини); лінії перети­ну двох поверхонь, які мають місце в оригіналі, називають позиційними. Розв’язання кожної такої задачі зво­дить­ся до скінченої послідовності розв’язання двох основних позиційних задач на побудову зображень.

С формулюємо їх і встановимо схеми розв’язання кожної з основ­них задач.

Н а рис. 5 зображено площину H і пряму l'. Пряма l' на рис. 5 може перетинати площину H або бути до неї паралельною. Для того, щоб на зображенні комбінації прямої та пло­щини можна було встановити їх взаємне розташування, необхідно по­будувати зображення довільних двох точок прямої l' разом із зображенням їх ортогональних проекцій на площину H. Нехай A' і B' – зображення довільних двох точок прямої l' (рис.6), а точки a´ та b´ – зображення проекцій точок A' та B' на предметну площину. На такому зображенні легко встановити, чи будуть пряма l' та площина H мати спільну точку. Для цього потрібно розв’язати першу основну позиційну задачу на побудову:

Задача А. Побудувати точку перетину прямої та площини.

Задача А розв’язується за такою схемою:

1) „включаємо” пряму l' в деяку площину, яка перетинає площину H;

2) знаходимо лінію перетину l допоміжної площини α з предметною площиною H;

3) точку перетину прямої l' з площиною H одержуємо від перетину прямих l та l'.

К ожна з прямих A'a´ та B'b´ є перпендикулярною до площини H, а тому вони паралельні між собою. Двома паралельними прямими в просторі визначається площина, яку на рис.6 позначено α. Точка a´ належить прямій A'a´, отже належить площині α. З другого боку, точка а´ належить площині H (як точка перетину прямої A´a´ з площиною H). Аналогічно, точка b´ належить як площині α, так і площині H. Отже, площини α і H мають дві спільні точки. Тому вони перетинаються по прямій l, яка проходить через ці дві точки. В такий спосіб ми виконали пункт 2 задачі А.

Згідно з пунктом 3 задачі А для знаходж­ення точки перетину пря­мої l' з площиною H досить знайти точку C перетину прямих l' та l.

Якщо довжини відрізків A'a´ та B'b´ (рис. 7) рівні, то матимемо зо­браження прямої l', паралельної до площини H.

Нехай тепер задано предметну площину H і площину α, що виз­на­чена трьома її точками A', B', C' разом з їх проекціями a', b', c' на площину H (рис.8).

Побудуємо пряму, по якій перетинаються площини H та α. Для побудови прямої досить знати дві її точки. Отже, задача зводиться до побудови двох спільних точок заданих площин. Поставлена нами задача є другою основною позиційною задачею на побудову.

З адача В. Побудувати лінію перетину двох площин.

Проведені вище міркування дають схему розв’язування задачі В.

1) в одній із заданих площин вибираємо дві прямі (A'C' та A'B');

2) двічі розв’язуємо задачу А відносно пря­мих A'C' та A'B'. Знаходимо зображення b₀ та c₀ точок їх перетину з площиною H.

3) пряма b₀c₀ – шукана.

Задача В має часткові випадки.

Може статися, що одну спільну точку двох площин уже побудовано. Тоді для розв’язання задачі В досить знайти ще тільки одну їх спільну точку, тобто один раз розв’язати задачу А.

В іншому випадку може статися, що шукана лінія перетину площин паралельна до заданої на зображенні прямої. Тоді для розв’язання задачі досить знайти одну спільну точку перетину заданих площин і через неї провести пряму, паралельну до потрібної прямої зображення. Цей випадок ми проілюструємо незабаром при побудові перспективи точки.