- •Передмова
- •§1. Основні поняття
- •§2. Позиційні задачі на побудову
- •§3. Перспектива точки
- •§4 Перспектива прямих часткового та особливого розміщення
- •§ 5 Перспектива прямої загального розміщення
- •§6. Взаємне розташування прямих
- •§7 Зображення площини в перспективі
- •§8 Перспективний масштаб
- •§8 Масштабна шкала та її практичне застосування
- •§9 Способи розв’язання метричних задач на картині
§9 Способи розв’язання метричних задач на картині
.
П ерспективний масштаб є потужним апаратом розв’язання метричних задач на картині. Проте існує низка задач, розв’язання яких з допомогою так званих геометричних методів можливе без застосування масштабів. Це не лише спрощує міркування, а і дозволяє досягнути мети, проводячи на картині меншу кількість ліній. Розв’язання більшості таких задач ґрунтується на теоремі Фалеса або на властивостях сторін і діагоналей паралелограма.
На картині (Рис. 70, а) задано відрізок АВ горизонтальної прямої. Нехай потрібно розділити його на чотири рівних частини. Для цього через один з його кінців (для певності А) проведемо пряму і від вершини кута, що утворився, відкладемо чотири рівних відрізка А-1, 1-2, 2-3 і 3-4 однакової довжини (Рис. 70, б). Сполучимо кінець четвертого відрізка з точкою В. Якщо через точки 1, 2 та 3 провести прямі, паралельні до прямої В-4, то від перетину з відрізком АВ одержимо точки, які поділять його на чотири рівних частини.
У перспективі рівні відрізки, що зображені на прямій, яка паралельна до основи картини, зображають рівні в дійсності відрізки. Через точку А проведемо пряму, паралельну до основи картини і відкладемо на ній рівні відрізки (Рис. 70, а). Продовжимо пряму 4-В до перетину з лінією горизонту. У перспективі паралельні прямі матимуть спільну точку сходу. Тому для побудови шуканих точок досить сполучити точки 1, 2 та 3 з граничною точкою В∞ прямої 4-В.
Н а картині 71 зображено відрізок нисхідної прямої разом із його проекцією на предметну площину. Для поділу відрізка на три рівні частини можна використати масштаб широт. Для цього досить спочатку поділити на три рівні частини його проекцію, а потім через точки її поділу провести вертикальні прямі.
Аналогічно здійснюють збільшення відрізка у декілька разів (Рис. 72). Спочатку, як на рисунку 70, а, збільшуємо його проекцію на предметну площину у задану кількість разів, а потім, як на рисунку 71, будуємо шуканий відрізок.
Д ля поділу відрізка навпіл і подвоєння, а отже і збільшення його у довільну іншу задану кількість разів, крім теореми Фалеса зручно використовувати властивість діагоналей паралелограма. На рисунку 73, б побудовано паралелограм, для якого відрізок АВ є його діагоналлю. За властивістю паралелограма його діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Звідси випливає спосіб побудови середини перспективного відрізка АВ:
– на лінії горизонту вибираємо довільну точку А∞ (можна за А∞ вибрати головну точку картини);
через точки А та В проводимо прямі l та n, паралельні до основи картини;
від перетину променя А∞А з прямою l фіксуємо точку 1;
від перетину променя А∞В з прямою n фіксуємо точку 2;
точка перетину відрізків АВ та 1-2 дасть шукану середину відрізка АВ.
Н а тих же властивостях сторін та діагоналей паралелограма ґрунтується побудова перспективного зображення відрізка, довжина якого вдвічі більша за довжину заданого на картині відрізка. На рисунку 74 задано відрізок АВ, який необхідно подвоїти. Через кінець В відрізка АВ проведено горизонтальну пряму і на ній в обидва боки від точки В відкладено довільні рівні відрізки 1- В та 2- В. Через точку 2 проведемо пряму, паралельну до прямої 1-А до перетину з променем АВ у точці С. З рівності трикутників ВА-1 та ВС-2 випливає рівність їх відповідних сторін: АВ=ВС, А1=2С. Із доведеного випливає, що чотирикутник А-1-С-2 – паралелограм, а відрізки 1-2 та АС його діагоналі. З паралельності прямих А1 та 2С випливає, що їх образи на картині матимуть спільну граничну точку. Тоді побудову подвоєння відрізка АВ здійснюють в такій послідовності:
через кінець В відрізка проводимо пряму, паралельну до основи картини;
в обидва боки від точки В відкладаємо рівні відрізки В-1 та В-2;
фіксуємо точку А∞ перетину прямої А-1 з лінією горизонту;
Шукану точку С одержимо від перетину прямої А∞-2 з променем АВ.
Для зображення в перспективі вертикальних об’єктів та архітектурних елементів, що розташовані на однаковій відстані один від одного (електричні стовпи, дерева, що висаджено на однаковій відстані вздовж однієї прямої, вікна та перестінки на стіні будинку, тощо), використовують більш простий та зручний спосіб «діагоналей», які проводять у прямокутнику або квадраті.
Н а рисунку 75 зображено два дерева однакової висоти. У межах картини побудуємо ще декілька дерев тієї ж висоти, віддалених одне від іншого на ту саму відстань. Через кінці заданих вертикальних відрізків та їх середини проведемо паралельні прямі. Тоді діагональ, що пройде через верхній кінець першого відрізка і середину другого визначить положення третього вертикального відрізка (Рис. 75, б). Ці ж геометричні побудови виконана на картині (Рис. 75, а).
Цим же способом будують рівні прямокутники, розташовані в горизонтальній площині (Рис. 76). Якщо сторона прямокутника паралельна до основи картини, то граничною точкою для суміжної з нею сторони буде головна точка картини.
Н ехай прямокутник АabВ розташований вертикально. При цьому його сторона АВ належить горизонтальній прямій загального розміщення, що лежить у предметній площині, а сторона ab належить площині головного променя зору. Перспективне зображення такого прямокутника подано на картині (Рис. 77, а). Пригадаємо, що пряма, яка проходить через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно до двох його сторін, перетинає дві інші в їх серединах (Рис. 77, б). Схему побудови середини С горизонтального відрізка АВ предметної площини загального розміщення з допомогою прямокутника, вказаного вище розміщення, подано на рисунку 77, б.
Д ля подвоєння відрізка, про який йшлося у попередній задачі, досить знайти точку С перетину прямих АВ та аМ, де М – середина відрізка bВ (Рис. 78).
В ажливою метричною задачею в перспективі є побудова на картині кута, градусну міру якого задано. На рисунку 79 у предметній площині задано кут С′А0В′, величину α якого відомо. Промені зору, напрямлені паралельно до прямих А0В′ та А0С′ у перетині з лінією горизонту картини дадуть граничні точки В∞ та С∞ сторін заданого кута. Очевидно, що кути С∞SВ∞ та С′А0В′ матимуть однакову градусну міру α. Здійснимо обертання площини С∞SВ∞ навколо лінії горизонту до суміщення з площиною картини. Якщо – суміщена точка зору, то величиною кута також буде α.
З проведених міркувань випливає, що для побудови на картині кута заданої величини, який лежить у предметній площині, досить побудувати кут α з вершиною у точці так, щоб його сторони перетинали лінію горизонту у точках С∞ та В∞. Тоді будь який з кутів, зображених на картині (Рис. 80) матиме величину α. Кути С∞А0В∞, С∞А1В∞ та С∞А2В∞, що лежать у предметній площині, будуть рівними, оскільки їх відповідні сторони паралельні і величина їх дорівнює α. Величина кута С∞А3В∞ також дорівнює α, але він розташований у площині, паралельній до предметної.
Розв’яжемо тепер зворотну задачу. Нехай на картині (Рис. 80) задано горизонтальні прямі загального розміщення А3В∞ та А3С∞. Встановимо по їх зображенню величину кута, який утворюють вказані прямі.
Для цього досить побудувати суміщену точку зору та встановити величину кута С∞ В∞.
Нехай тепер на картині (Рис. 81) зображено дві прямі загального розміщення, що перетинаються в точці А. Встановимо величину кута між такими прямими. Промені АВ∞ та АС∞ кута утворюють площину Q, для якої пряма В∞С∞ буде граничною (В∞С∞≡ Q∞). На рисунку 82 проведено промені зору SВ∞ та SС∞, кожен з яких паралельний до однієї зі сторін кута. Для того, щоб отримати суміщену точку зору , здійснимо обертання площини SВ∞С∞ навколо прямої Q∞ до суміщення з площиною картини. Точка належатиме перпендикуляру до прямої Q∞, проведеному через головну точку картини. Нехай О – точка перетину вказаних прямих.