- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
Поверхность – это непрерывное отображение некоторой области на плоскости в трехмерное пространство.
Для создания поверхностей в пространстве используют векторные функции векторных переменных, например , где .
П усть имеется некоторая плоскость, заданная в виде , где и - некоторые параметры ( ). Зафиксируем параметр в нескольких точках ( ), и позволим меняться параметру . Тогда мы получим координатные линии (то есть ). Выполняя аналогичные действия для параметра , получим координатные линии ( ) . Полученные линии образуют координатную сетку на поверхности (которая состоит из координатных линий при и при ). Также обозначим ( ), ( )- векторы касательной к координатным линиям и соответственно (см. рис. 10).
Поверхность называется гладкой, если в каждой точке существуют , . Гладкая поверхность называется регулярной, если ни в одной точке не параллельно , то есть .
Запишем уравнение для поверхности в следующем виде:
.
Тогда производные и имеют вид:
,
.
Очевидно, что если поверхность регулярная, то .
З адавая координатную сетку на поверхности, можно определить линию на этой поверхности в параметрическом виде:
,
или
.
Найдём вектор касательной к этой линии. Будем считать, что эта поверхность регулярна. Тогда:
.
Очевидно, что данный вектор лежит в плоскости векторов , .
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим регулярную поверхность . Как мы видели в §6, касательная к произвольной лини, лежащей на этой поверхности, лежит в плоскости векторов и . Плоскость, проходящая через точку, лежащую на поверхности, параллельной векторам и , называется касательной плоскостью к поверхности. Очевидно, что нормальный вектор имеет вид:
.
Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид:
, (1)
где - вектор некоторой фиксированной точки на поверхности (то есть ) и - радиус-вектор произвольной точки поверхности.
Запишем радиус-вектор произвольной точки касательной поверхности в координатном виде:
.
Отсюда следует, что
,
где , , . Согласно выражению (1), уравнение касательной плоскости имеет вид:
.
Пусть поверхность задана в виде . Тогда радиус-вектор можно записать в виде:
.
В этом случае коэффициенты , , имеют вид:
, , .
Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид:
. (2)
Преобразовав (2) получим:
.
Если касательная плоскость задана в неявном виде: , где , то, согласно правилам дифференцирования неявной функции, имеем:
, .
Подставляя в (2) вместо и соответственно и , и умножая на , после преобразований получим:
.
Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью.
Уравнение нормали имеет вид:
,
где - точка касания, или в параметрическом виде:
§8. Первая квадратичная форма поверхности
Пусть на регулярной поверхности , где задана линия в натуральной параметризации и . Тогда уравнение этой линии можно записать в виде:
.
Так как , то .
Величина называется первой квадратичной формой поверхности.
Так как , то:
(1)
Обозначим , , . Тогда (1) примет вид:
.
Так как поверхность регулярная, то . То есть и одновременно. не равны нулю. А это означает, что первая квадратичная форма является положительно определённой. Матрица первой квадратичной формы представлена ниже:
Согласно критерию Сильвестра из данной формулы получаем, что:
, .
1. Измерение длины линии на поверхности.
Так как , то (используя формулу для вычисления длины линии из §2) имеем:
.
В этой формуле , в силу инвариантности формы дифференциалов первого порядка.
2. Измерение углов между линиями.
Пусть заданы две линии и , и пусть дифференциалами этих линий являются и . Тогда:
. (2)
где - угол между этими линиями.
О бозначим:
.
Тогда имеем:
,
,
.
Подставляя в эти три выражения в (2) получим:
.