§ 38. Преобразования Фурье
Рассмотрим соотношение (4) из параграфа 36:
.
Преобразованием Фурье функции
назовём следующую функцию
:
.
Функция
называется изображением или образом
функции
.
Зная изображение функции, можно
восстановить саму функцию, которую
называют оригиналом или прообразом.
Очевидно, что:
.
Если функция
- чётная, то используют cos-преобразование
Фурье (это преобразование обозначается
как
),
которое легко получается из формулы
(5) параграфа 36:
.
Очевидно, что обратное cos-преобразование имеет вид:
.
Для
нечётной функции
,
следуя формуле (6) параграфа 36, можно
получить sin-преобразование
(это преобразование обозначается как
)
Фурье:
.
Обратное sin-преобразование имеет вид:
.
Замечание.
Если функция задана на интервале , то к ней можно применять как cos- так и sin-преобразования Фурье.
Пример 1.
Пусть
задана функция
(где
,
).
Очевидно, что эта функция абсолютно
интегрируема (то есть выполняется
неравенство
).
Построим для неё cos-преобразование
Фурье:
.
Имеем:
,
или
.
Следовательно, cos-преобразование Фурье имеет вид:
.
Можно восстановить саму функцию по её изображению:
.
Из данной формулы можно получить следующее равенство:
.
Пример 2.
Пусть задана функция
.
Найдём её cos-преобразование:
.
Обратное cos-преобразование имеет вид:
