§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.

Мы рассмотрели тригонометрическую систему функций, которая является ортогональной на отрезке . Согласно общей теории рядов Фурье, для всякой кусочно-непрерывной функции на отрезке можно построить ряд Фурье по этой системе функций, который называется тригонометрическим рядом Фурье:

, (1)

где

, , при . (2)

Найдём частичные суммы ряда Фурье:

.

Согласно (2) получаем:

.

Так как данная сумма конечна, мы можем переставить знаки интегрирования и суммы местами, то есть:

.

Функцию (3) назовём ядром Дирихле. Преобразуем его вводя замену и , одновременно умножая и деля (3) на , получаем:

Таким образом, ядро Дирихле имеет вид:

.

Следовательно, n-ная частичная сумма ряда Фурье представима следующим образом:

. (3)

Сделаем в интеграле (3) замену переменных:

. (4)

Так как функция - -периодическая, то из (4) имеем:

. (5)

Преобразуем выражение (5) следующим образом:

. (6)

Рассмотрим первое слагаемое в полученном выражении. Производя замену на ,получаем:

. (7)

Таким образом, подставляя (7) в (6), имеем:

.

Из проведённых выше рассуждений следует, что интеграл Дирихле для -периодической функции можно записать в виде:

.

§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.

Лемма. Для всякой кусочно-непрерывной функции на отрезке справедливы следующие соотношения:

, (1)

. (2)

Доказательство.

Возьмём произвольный отрезок и оценим его следующим интегралом:

, (3)

где .

Далее провёдем доказательство только выражения (1), доказательство же (2) производится аналогично.

Разобьём отрезок точками и обозначим . Следовательно, получаем:

.

Оценим полученный интеграл, предположив сначала, что функция непрерывна на отрезке :

.

Согласно введённому обозначению, величина неотрицательна. Следовательно, имеем:

.

Так как и, учитывая неравенство (3), имеем:

.

Обозначим (то есть колебание функции на отрезке ), . Следовательно, получаем:

. (4)

Так как функция - непрерывна на отрезке , то отрезок можно разделить таким образом, чтобы для любого можно было найти такое , что для любого выполнялось следующее неравенство: . При таком разбиении отрезка . Выберем на столько большим, чтобы . Следовательно, при таком выборе и из (4) получаем:

.Отсюда следует соотношение (1).

Таким образом, мы доказали соотношение (1) для непрерывной функции .

Если функция кусочно-непрерывная на отрезке , то отрезок можно разделить точками так, что на интервалах функция будет непрерывна. Поэтому:

.

Согласно выше доказанному, где . Следовательно:

,

что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Коэффициенты Фурье и , так как , .

Следствие 2 (принцип локализации).

Пусть функция - -периодическая и кусочно-непрерывная. Тогда n-ная частная сумма ряда Фурье может быть представлена интегралом Дирихле:

. (5)

Доказательство.

Возьмём достаточно малое . Тогда выражение (5) можно записать в виде:

.

Рассмотрим второй интеграл в данном выражении. Подынтегральная функция для является кусочно-непрерывной (как сумма двух кусочно-непрерывных функций). Следовательно:

.

Это выражение означает, что на сумму ряда Фурье в точке влияет только интеграл . То есть, из проведённых рассуждений следует принцип локализации: Поведение ряда Фурье в точке зависит от значений функции из сколь угодно малой окрестности этой точки.