§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

Теорема. Если функция , заданная на отрезке , непрерывна на этом отрезке, кусочно-дифференцируемая и , то её ряд Фурье сходится равномерно.

Доказательство.

Согласно теореме Вейерштрассе, функциональный ряд (1) будет сходиться, если сходится его числовая мажоранта. Для ряда (1) числовой мажорантой является следующий ряд:

. (2)

Докажем, что ряд (2) сходится. Найдём коэффициенты Фурье и функции , которая является кусочно-непрерывной.

.

Так как , то имеем:

.

Проводя аналогичные преобразования, получаем, что

.

Очевидно, что

,

.

Тогда ряд (2) примет следующий вид:

.

Воспользуемся неравенством, согласно которому среднее арифметическое не превосходит среднее геометрическое:

.

Имеем:

.

Ряд сходится по степенному признаку (так как показатель при больше 1). Из следствия 2 §27 вытекает, что ряд сходится. Следовательно, и ряд (2) сходится, а значит и ряд (1) также сходится, причём сходится равномерно, что и требовалось доказать.

§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций

Пусть (1) – ортонормированная система функций из пространства . Рассмотрим многочлены по следующим ортогональным функциям:

, (2)

где - некоторые числа.

Система (1) называется замкнутой, если для любой функции и всякого числа существует такое и такой набор чисел , что справедливо следующее утверждение:

.

То есть любую функцию можно приблизить многочленом (2) с любой точностью.

Теорема 1. Если система (1) – замкнутая, то имеет место равенство Парсеваля:

. (3)

Доказательство.

Из теоремы §27 известно, что наилучшее приближение по норме произвольной функции суммами вида (2) даёт n-я частная сумма ряда Фурье. Поэтому:

. (4)

Из теоремы §27 имеем:

. (5)

Так как система (1) замкнута и, согласно выражению (4), имеем:

.

Тогда из равенства (5) получаем:

.

Из произвольного выбора и неравенства Бесселя следует равенство Парсеваля, что и требовалось доказать.

Система (1) называется полной, если в пространстве не существует отличной от нуля функции, одновременно ортогональной всем функциям системы.

Теорема 2. Всякая замкнутая система (1) – полная.

Доказательство.

Доказательство проведём методом от противного. Пусть дана функция такая, что скалярное произведение равно нулю при любом параметре . Следовательно, все коэффициенты Фурье равны нулю. Тогда, согласно равенству Парсеваля, имеем:

.

Следовательно, функция равна нулю, что противоречит нашему утверждению в начале доказательства. Следовательно, любая замкнутая система – полная, а наоборот – не всегда.

Теорема 3. Тригонометрическая система функций - замкнутая в пространстве .

§37. Интеграл Фурье

Интегралом Фурье функции , заданной на интервале , называется следующий интеграл:

, (1)

где

,

.

Подставим выражения для и в (1). Имеем:

.

Пусть функция абсолютно интегрируема на отрезке , то есть справедливо следующее неравенство:

.

Тогда существует интеграл Фурье.

Теорема. Если функция абсолютно интегрируема, и на каждом конечном отрезке кусочно-дифференцируемая, то интеграл Фурье сходится в каждой точке, и его сумма равна:

.

Тогда справедливо следующее выражение:

.

Поскольку подынтегральная функция чётная по параметру , то имеем:

. (2)

Рассмотрим следующий интеграл:

. (3)

В общем случае такой интеграл не обязательно сходится (обязательно сходится внутренний интеграл, так как функция абсолютно интегрируемая). Однако можно заметить, что функция

при любом фиксированном будет нечётная. Поэтому интеграл (3) сходится в смысле главного значения.

Несобственный интеграл сходится в смысле главного значения, или интеграл является сходящимся по Коши, если существует следующий предел:

.

Обычно сходимость интегралов в бесконечных пределах исследуют с помощью разбиения их на два интеграла следующим образом:

.

В данном случае каждый из двух полученных интегралов может расходиться. Но в нашем случае пределы интеграла увеличиваются равномерно, что и определяет его сходимость в смысле главного значения. Интеграл, сходящийся в смысле главного значения, обозначается следующим образом:

.

Поэтому интеграл (3) сходится в смысле главного значения и он равен нулю.

Умножим выражение (3) на и сложим с выражением (2). Имеем:

.

Так как , то получаем:

(4)

В данном выражении внешний интеграл считается в смысле главного значения.

Пусть функция чётная. Запишем коэффициенты Фурье для данной функции:

,

.

И поэтому, из (1) следует, что чётная функция , кусочно-дифференцируемая и абсолютно интегрируемая, представима рядом Фурье в следующей форме:

. (5)

Точно так же, если функция - нечётная, то её можно представить следующим рядом Фурье:

. (6)

Если функция задана на полупрямой , то её можно представить для этой полупрямой как в виде (5) так и в виде (6) – в первом случае надо продолжить на отрицательную полуось чётным образом, во втором – нечётным.