- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
Рассмотрим кривую . Обозначим - производную данной линии по натуральному параметру. Пусть рассматриваемая кривая регулярна, то есть . В этом случае в каждой точке кривой можно построить касательный вектор . Длина линии равна:
.
Найдём производную данного выражения по :
,
то есть длина касательного вектора равна 1. В дальнейшем единичный вектор будем обозначать следующим образом:
Найдём вторую производную . Так как линия имеет постоянную длину, то из теоремы 2 §1 следует, что . Обозначим вектор :
и назовём его вектором главной нормали. , где - называется кривизной линии .
Обозначим:
и назовём вектором бинормали. Так как вектора и единичные и взаимно перпендикулярные, то и вектор - так же единичный.
В каждой точке регулярной кривой, для которой , можно построить три единичных взаимно перпендикулярных вектора , , , которые образуют естественный (сопровождающий) трёхгранник.
Из проведенных рассуждений следует, что , .
§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
Найдём производные от векторов , , :
,
.
Очевидно, что =0, то есть .
Следовательно, имеем:
,
где - кручение линии ( по теореме 2 §1.).
.
Мы получили формулы Френе:
, (1)
То есть, используя данные формулы, можно выразить векторы , , в базисе .
Можно обозначить матрицу , в которой построчно записаны координаты векторов , , в базисе . Очевидно, что , и, если обозначить столбец , то в формулы Френе можно записать в матричном виде:
.
§5. Вычисление кривизны и кручения
1. Натуральная параметризация.
Из §3 известно, что если задана линия , то , , . Найдём кривизну линии . Так как и , то:
. (1)
Найдём :
.
Найдём смешанное произведение трёх векторов , , :
. (2)
Так как , и , то из (2) имеем:
.
Следовательно, мы получили выражение для кручения линии :
. (3)
2. Произвольная параметризация.
Пусть задана линия , где t- произвольный параметр. Тогда: . Будем считать что параметр t возрастает в том же направлении, что и l то есть . Найдём :
. (4)
Найдём и :
, .
Так как , то согласно формулам (1) и (4) имеем:
. (5)
Подставляя выражение b в (3), получим:
.
Учитывая выражение (5), окончательно получаем:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Обозначим следующие плоскости:
1. Плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная , называется нормальной. Уравнение данной плоскости имеет вид:
.
2. Плоскость, проходящая через и перпендикулярная , называется спрямляющей. Уравнение данной плоскости имеет вид:
.
3. Плоскость, проходящая через и перпендикулярная , называется соприкасающейся. Уравнение данной плоскости имеет вид:
.