Корисність за Нейманом-Моргенштерном. Теорія сподіваної корисності. Поняття лотереї
Для визначення корисності розглядається вибір особи в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.
Для цього необхідно
з множини Х
пред’явлених експертам значень певного
економічного показника (об’єкта)
виділити два значення х*
та х*
таких, що х 
х*
та х 
х*
для всіх х Х,
тобто найменш пріоритетне, в певному
сенсі, значення економічного показника
(це буде «нуль» даної шкали інтервалів)
і найбільш пріоритетне, в певному сенсі,
значення показника (разом з «нулем»
вони визначають масштаб даної шкали).
Власне, так побудована функція корисності
Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту
пропонують порівняти між собою дві
альтернативи:
1) значення показника х;
2) лотерею: одержати х* з імовірністю 1 – р чи х* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х*, p, x*) не стануть еквівалентними, тобто x L(х*, p, х*).
Максимальному й мінімальному значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*= U(х*) та U* = U(x*), але так, щоб U* > U*.
Під лотереєю L(x*, p(x), x*) розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х* з імовірністю р(х) або х* з імовірністю 1 – р(х). (Часто використовують запис: L(x*, p(x); x*, q(x)), де q(х) = 1 – р(х)).
За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х), при якій особі байдуже, що обирати: х — гарантовано, чи лотерею L(х*, р(х), х*), де х*, х* — вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.
Наприклад, у якості
функції корисності можна брати функцію
бо для всіх x [x*, x*] значення q(х) [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х* до х* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.
Якщо покласти
то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності (p(x) = 1 – q(x); p(x) [0, 1] для x [x*, х*]).
У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:
U(x) = F(x) = P(X < x).
Hаприклад:
Сподівана корисність
Нехай L
— лотерея, що приводить до виграшів
(подій) x1, х2, ...., хn
з відповідними
ймовірностями p1,
p2,
..., pn.
Позначимо сподіваний виграш (математичне
сподівання виграшу) через
:
;
Справедлива
основна формула теорії сподіваної
корисності:
тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.
Поняття лотереї, сподіваного виграшу, детермінованого еквіваленту лотереї, премії за ризик.
Лотерея
– це ситуація, в якій особа може одержати
виграш
з ймовірністю р, або
з
ймовірністю 1-р.
Лотерею
позначають:
або
Такий
вид лотереї називають простою лотереєю
(коли є 2 виграші). Складена лотерея –
це та, в якій можливі n-виграшів
з
ймовірностями
Складена лотерея позначається:
Для аналізу лотереї використовують ряд показників:
сподіваний виграш лотереї, який обчислюється за формулою:
Для
простої лотереї:
сподівана корисність :
Для простої лотереї:
детермінований еквівалент – це гарантована сума
,
одержання якої еквівалентним участі
у лотереї.
Детермінований еквівалент визначається з рівняння:
Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x) то:
А детермінований еквівалент можна знайти зі співвідношення:
премія за ризик (П(х)) – це та сума, якою ОПР готова знехтувати(відмовитись) із свого середнього виграшу, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.
П(х)=
-
.