22. Оцінка ризику цінних паперів.

Важливою характеристикою кожного цінного паперу є його ризик. Для кількісної оцінки міри ризику застосовують показник варіації (дисперсії) норми прибутку цінного паперу.

Варіацію обчислюють за формулою:

Де V- варіація(дисперсія), тобто міра ризику цінного паперу.

- можливе значення норми прибутку, яке може мати цінний папір, коли економічне середовище знаходиться в стані і.

m- сподівана норма прибутку цінного паперу.

Середньоквадратичне відхилення розраховуються за формулою:

σ- середньоквадратичне відхилення, міра ризику цінного паперу.

У випадку, коли є статистичні дані щодо минулого, варіацію обчислюють за формулою:

Де T- кількість періодів, що минули, протягом яких спостерігались норми прибутку (роки,місяці,тижні).

t- індекс номеру періоду

- норма прибутку цінних паперів, що мала місце у період t.

23. Формування портфеля цінних паперів (портфель з двох акцій).

Надалі будемо вважати, що для акцій A₁ та A₂ мають місце співвідношення: m₁ > m₂, ₁ > ₂. Власне, це визначає доцільність утворення портфеля з цих акцій.

Структура портфеля з двох видів ЦП задається вектором , а випадкова величина норми прибутку, сподівана нор­ма прибутку й оцінка ступеня ризику визначаються відповідно за формулами:

; ; ;

Нехай , , , тоді:

.

Ця парабола в системі координат « » проходить через точки А₁(1;  ) та А₂(0; ), які відповідають однорідним портфелям, складеним відповідно з ЦП А₁ та А₂ (рис. 2.1.8 а).

а) б)

Рис. 2.1.8. Залежність оцінки ризику ПЦП від:

а) х — частки акції першого виду; б) m_П — сподіваної норми прибутку ПЦП

Легко переконатись [7], що тобто задана парабола є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у точці (вершині) .

Дослідження з теорії портфеля часто здійснюють у системах координат «х — » або «т — », при цьому дуга А₂О*А₁ (область допустимих ПЦП) також опукла вниз на досліджуваному інтервалі зміни аргументу ( чи ).

Координати вершини параболи :

,

де , .

Сутність ефекту диверсифікації полягає в тому, що збільшення сподіваної норми прибутку m_П (починаючи з мінімального можливого значення) на певному етапі може супроводжуватися зменшенням оцінки ризику ПЦП — .

Згідно з рис. 2.1.8 б, за збільшення m_П від m₂ до оцінка ризику ПЦП зменшується від до . Подальше збільшення m_П (від до m₁) призводить до збільшення оцінки ризику від до Отже, диверсифікація ефективна, коли абсциса вершини параболи О^* належить проміжку [m₂; m₁].

Оскільки , то з формули для обчислення х* отримуємо , тобто ₁₂  . Отже, для портфеля з двох видів ЦП диверсифікація ефективна, коли коефіцієнт кореляції їх норм прибутку — ₁₂, належить проміжку [–1; '), де ' =  . Наголосимо, що чим менше значення ₁₂, тим меншим буде ризик портфеля й ефективнішою — диверсифікація.

24. Формування портфеля цінних паперів (портфель з багатьох акцій).

Перейдемо тепер до загального випадку, коли до складу ПЦП залучено N (N > 2) різних акцій.

Розглянемо, наприклад, три акції, що мають норми прибутку відповідно 15%, 10%, 5%, середньоквадратичні відхилення 10%, 7%, 3% і коефіцієнти кореляції 23 = – 0,2; 12 = – 0,4; 13 = + 0,6. У системі координат mП – П (норма прибутку — ризик, рис.7.5) побудуємо точки А1, А2, А3, що відповідають однорідним ПЦП, сформованим з відповідних акцій. На цьому ж рисунку побудуємо лінії (дуги), що відповідають ПЦП, сформованому з двох видів акцій (А3А1; А3А2; А2А1).

Рис. 7.5. Множина допустимих портфелів цінних паперів

Точкам К   А3А2 та L   А2А1 відповідають певні ПЦП, cформовані з двох (відповідно А3, А2 та А2, А1) видів акцій. Для цих портфелів можна розрахувати норми прибутку і ризики. Вважатимемо тепер, що кожний з цих портфелів є певного виду «цінним папером» відповідно К та L. А тому, в свою чергу, можна сформувати новий ПЦП для ЦП К та L. Такі ПЦП вже будуть включати по три акції (А1, А2, А3) і їм відповідає дуга КL.

Міркуючи таким чином, приходимо до висновку, що кожна точка, яка належить до заштрихованої області (рис. 7.5), відповідає деякому ПЦП, сформованому з трьох видів акцій.

Допустимою множиною ПЦП називається область, точки якої характеризують ступінь ризику та норму прибутку портфеля за всіх можливих часток окремих акцій в портфелі (на рис. 7.5 — це область, обмежена жирною лінією.),

Особливістю дуги О*А1, яка належить допустимій множині, є те, що для будь-якої точки цієї дуги не можна вказати іншої точки допустимої області, для якої ПЦП був би кращим.

Ефективною множиною ПЦП називаються ті портфелі, що відповідають точкам дуги О*А1. Тобто ефективним портфелем вважається такий, для якого в допустимій множині ПЦП не можна вказати іншого портфеля:

• з тим же значенням величини сподіваної норми прибутку і меншим ступенем ризику;

• з тим же значенням величини ризику і більшим значенням сподіваної норми прибутку.

Очевидно, що для ПЦП, складених з двох акцій, допустима множина збігається з множиною ефективних портфелів, і вони складають дугу О*А1 (рис. 7.4).

Задача збереження капіталу. Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб оцінка ризику портфеля була міні- мальною. Формально це однокритеріальна оптимізаційна задача (нелінійного програмування).

Математична модель задачі:

,

Портфель із мінімальним ризиком у моделі Марковіца існує завжди. Знайти структуру такого ПЦП можна, побудувавши функ­цію Лагранжа та визначивши її точки мінімуму [7].

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку (модель Марковіца). Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, за якої його сподівана норма прибутку буде не меншою заданого рівня — m_K (m_K = const), а оцінка ризику при цьому буде мінімальною. Формально це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;

Задача забезпечення приросту капіталу. Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб його оцінка ризику не перевищувала заданого рівня — _L (_L = const) і при цьому досягалася б максимальна величина сподіваної норми прибутку. Формально, як і в попередньому випадку, це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;