28. Оптимізація структури портфеля. Задача Тобіна.

Суть задачі Д. Тобіна полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб при мінімальному ризику грошові ресурси були розподілені між ризиковими та безризиковими ЦП і щоб сподівана норма прибутку була не меншою фіксованого рівня (m_C).

Формальна постановка цієї задачі має такий вигляд:

V_П = D(R_П)  ,

x₁ + x₂ + ... + x_N+1 = 1,

.

(тут х_N+1 — частка вкладень з гарантованою нормою прибутку).

Очевидно, що задачу Д.Тобіна можна розглядати як задачу одержання бажаного прибутку, яка розглядалась у пункті 7.8.3.2. Розв’язання цієї задачі звелось до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (7.10).

З урахуванням того, що для безризикових ЦП виду А_N+1(m_N+1, _N+1) сподівана норма прибутку m_N+1 = R_F, величина ризику _N+1 = 0, значення коваріацій _1,N+1 = _2,N+1 = ... = _N,N+1 = 0 і при цьому ₁ = – ₂R_F, система (7.10) зводиться до такої системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(7.19)

Розглянемо перших N рівнянь системи (7.19). Якщо покласти , то прийдемо до системи рівнянь (7.18) щодо знаходження структури ринкового портфеля Е(m_E; _E). Позначимо розв’язок системи (7.18) через y_E = (y₁, y₂, ..., y_N), суму компонент розв’язку y_E — через  (тобто ), структуру ринкового ПЦП — через , , а перші N компонент розв’язку системи (7.19) — через x_П = .

Згідно з результатом попереднього пункту y_E = x_E, а тому

З урахуванням отриманого, для лівої частини (N + 1)-го рівняння системи (7.19) має місце співвідношення:

а з урахуванням правої частини цього рівняння отримуємо, що

Тоді тобто

Якщо покласти m_C = R_F, то х_N+1 = 1, тобто інвестор весь свій капітал розмістив у ЦП, необтяжені ризиком. Якщо ж m_C = m_E, то x_N+1 = 0, тобто весь капітал інвестується у ринковий портфель.

Виходячи з отриманих результатів, легко встановити, що

m_П = m_C; _П = ; х_П = _-

29. Основні поняття гри. Поняття конфліктної ситуації та стратегії гравця. Нижня та верхня ціна гри.

Конфліктною називається ситуація, в якій стикаються інтереси двох чи більше сторін, що мають суперечливі цілі, причому виграш кожної із сторін залежить від того як поводитимуться інші сторони.

Приклади конфліктних ситуацій: бойові дії, біржові угоди, різні види виробництва в умовах конкуренції, угоди на фондовому ринку, спортивні змагання, інші змагання, ігри.

Математична теорія конфліктних ситуацій називається теорією ігор. Теорія ігор історично виникла у зв’язку з визначенням оптимальної поведінки в азартних іграх і зберегла свою назву дотепер, хоча її застосовують і для аналізу інших конфліктних ситуацій.

Метою теорії ігор є вироблення рекомендацій щодо розумної поведінки учасників конфлікту.

У теорії ігор розроблена система власних понять:

• Математична модель конфлікту називається грою;

• Сторони у конфлікті називаються гравцями;

• Результат гри називається виграшем або нічиєю;

• Правилами гри називається перелік прав і обов’язків гравців;

• Ходом називається вибір гравцям однієї з передбачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті і випадкові. Особистий хід – це свідомий вибір гравця. Випадковий хід – вибір дії, що не залежить від його волі.

Залежно від кількості можливих ходів у грі, ігри поділяються на : а) скінченні – ті, які передбачають скінченне число ходів; б) нескінченні – ті, які передбачають нескінченне число ходів.

• Стратегією гравця називають сукупність правил, що визначають вибір варіанта дії у кожному особистому ході;

• Оптимальною стратегією гравця називається така стратегія, що забезпечує йому максимальний виграш;

• Завдання теорії ігор полягає у виявленні оптимальної стратегії;

• Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними, ними теорія ігор не займається. Її мета – оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими є особисті ходи. Такі ігри називаються стратегічними;

• Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів всіх гравців дорівнює 0, тобто кожен виграє за рахунок іншого;

• Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною. Теорія таких ігор найбільш розвинена. Крім того, такі ігри моделюють великий клас реальних конфліктів. В подальшому розглядатимемо саме антагоністичні ігри.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальні рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець.

Гру зручно відображати таблицею, яка називається платіжною матрицею або матрицею виграшів. Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у гравця В, і скільки рядків, скільки стратегій у гравця А. на перетині рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять виграші гравця А і, відповідно, програші гравця В:

A B	В1	В2	……	Вn
А1	а11	а12	……	а1n
А2	а21	а22	……	а2n
……	……	……	……	……
Аm	аm1	аm2	……	аmn

Якщо задача зведена до матричної форми, то можна порушувати питання про пошук оптимальних стратегій. Для цього введемо поняття верхньої і нижньої ціни гри.

Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:

Нижня ціна гри показує, що хоч би яку стратегію застосував гравець В, то гравець А гарантує собі виграш, не менший .

Верхньою ціною гри називається елемент матриці, що задовольняє умову: .

Верхня ціна гри гарантує для гравця В, що гравець А не одержить виграш, більш за величину .

Точка(елемент) матриці, для якої виконується умова , називається сідловою точкою. У сідло вій точці найбільший з мінімальних виграшів гравця А точно дорівнює найменшому з максимальних програшів гравця В, тобто мінімум у будь-якому рядку матриці дорівнює максимальному у будь-якому стовпці.