32. Статичні ігри в умовах ризику та невизначеності.

Статистичні ігри – це гра двох осіб людини і природи з використанням людиною додаткової статистичної інформації про стан природи.

Тут природа не є розумним гравцем, що прагне вибрати для себе оптимальні стратегії. Цей гравець не зацікавлений у виграші. Людина у даному випадку статистик, вона має справу з уявлюваним супротивником, тобто з природою. Гравець-природа не обира оптимальної стратегії, а статистик повинен прагнути до визначення розподілу імовірностей стану природи.

Статистик(гравець А) – намагається діяти обачно, використовуючи мінімаксну стратегію, що дозволяє одержати найменший програш.

Гравець-природа діє зовсім випадково, можливість стратегії визначається як її стан, наприклад умоаи погоди, попит на продукцію, обсяг перевезень і т.п.

У статистичних іграх використовуютья такі поняття: функція ризику, функція витрат, функція рішень. Умови шри задаються у вигляді матриці А=|а_іj| це множина рішень статистика. B=|b_ij| це множина рішень природи. Елемент а_іj дорівнює виграшу гравця А, якщо він використовує стратегію а_іj , а природа має стан b_j. У ряді випадків при розв’язанні гри використовують матрицю ризиків R=|r_ij|.

Елементи матрицы ризику r_ij це різниця між виграшем, що одержав би статистик А , якби знав стан природи b_j , і виграшем, який він одержить в тих же умовах, застосувавши стратегію a_i.

r_ij=B_j - a_ij

B_j=max_ia_ij

Наприклад розлянемо матрицю прибутків | 3 4 5 |

А= | 6 7 8 |

| 9 1 2 |

^{__________________________}

max | 9 7 8 |

Побудуємо матрицю ризиків

| 6 3 3 |

R= | 3 0 0 |

| 0 6 6 |

Тому що, наприклад

r₁₁ = 9 – 3 =6 : r₁₂ = 7 – 4 = 3 і т.д.

Розглянемо ряд критеріїв, використовуваних при розв’язанні ігор з природою. При відомому розподілі імовірностей станів природи критерієм прийняття рішення є максимізація виграшу чи мінімізація очікування ризику.

Нехай імовірності стану природи дорівнюють ( )

Вибір і-ої стратегії забезпечує математичне сподівання виграшу, що дорівнює

У ряды випадкыв, коли імовірності стану природи невідомі, для їхньої оцінки використвують принцип недостатнього обгрунтування Лапласа.

Відповідно до нього усі стани природи вважаються рівноймовірними,тоді вибір рішення можна робити по мінімуму середньозваженого показника ризику.

Якщо R – критерій ризику;

H – величина втрат;

Р_і – імовірність настання ризикових ситуацій;

R_i =

n – кількість розглянутих варіантів станів природи.

Однак у цих випадках не можна стверджувати що приняте рішення є оптимальним. Оптимальним воно є тільки щодо прийняття розподілу імовірностей станів природию Якщо ж питання розподілу імовірностей і природи невідоме, можна скористатися:

1.Максимінним критерієм Вальда чи критерієм крайнього песимізму

2.Мінімаксним критерієм Севіджа

3.Критерієм крайнього оптимізму

4.Критерієм узагальненого максиміна Гурвіца (критерій песимізму-оптимізму)