- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
В вычислительной математике используется два класса численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
1. Прямые (или точные) методы, позволяющие найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся метод Гаусса, метод Крамера, метод Халецкого и другие.
2. Итерационные методы, основанные на использовании повторяющегося процесса и позволяющие получить решение в результате последовательных приближений. К ним относятся метод итераций, метод Зейделя, метод релаксаций и другие.
3.1. Метод итераций
Дана система, состоящая из n линейных уравнений с n неизвестными:
(3.1)
Обозначим через -матрицу коэффициентов системы (3.1), через - столбец свободных членов и через - столбец неизвестных.
Тогда систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения
.
Решением системы будут числа x1, x2, …, xn. Определитель системы не равен нулю. Предполагая, что диагональные коэффициенты разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе – относительно x2 и т.д. Тогда получим равносильную систему, которая называется приведенной к виду , удобному для итераций.
, (3.2)
где (3.3)
Введем в рассмотрение матрицы:
и .
Тогда систему можем записать в матричном виде:
. (3.2')
Заметим, что систему (3.1) можно приводить к виду (3.2) любыми линейными преобразованиями. Систему (3.2) будем решать методом последовательных приближений, используя матричную запись. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов: Далее последовательно строим матрицы-столбцы: и т.д.
Любое (k+1)-ое приближение вычисляют по формуле:
. (3.4)
Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы (3.2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (3.4), будем иметь: или т.е. предельный вектор является решением системы.
Напишем формулы приближений в развернутом виде:
Метод итераций – метод последовательных приближений. Процесс итерации хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы должны быть велики по отношению к модулям недиагональных коэффициентов этой системы. Свободные члены при этом роли не играют.
Выясним, при каких достаточных условиях последовательность приближений имеет предел.
Теорема 3.1
Если для приведенной системы выполнено, по меньшей мере, одно из условий:
или ,
то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
В теореме (3.1) - «с» это значение максимальной суммы модулей элементов в строках, а «d» в столбцах матрицы α. Эти числа называют нормой матрицы α по строкам и по столбцам соответственно.
Следствие из теоремы (3.1).
Для приведенной системы
полученной из системы по формулам (3.3)
метод итераций сходится, если выполнены неравенства
(i=1,2,…n),
т.е. модули диагональных коэффициентов системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.