- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
Пусть точки xi будут равноотстоящими. Дано: отрезок , , .
Тогда: , , - шаг интерполяции.
Требуется: подобрать полином, степени не выше n, принимаю-щий в точках значения или .
Ньютон находил решение в виде полинома ,
где .
Для практического использования удобно положить , тогда . …
Получим:
- первый многочлен Ньютона.
Полученную формулу выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения x0, где q мало по абсолютной величине.
При n=1 получим формулу линейного интерполирования
Остаточный член первой интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:
,
где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .
При наличии дополнительного узла на практике пользуются более удобной приближенной формулой:
.
5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть имеем систему значений функции для равноотстоящих значений аргумента , где . Построим интерполирующий полином следующего вида:
,
где . Подставляя эти значения в формулу и полагая получим:
- второй многочлен Ньютона.
Остаточный член второй интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:
,
где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .
Для неограниченной таблицы значений функции y число n в интерполяционной формуле может быть любым, поэтому практически его выбирают так, что бы разность была постоянной с заданной степенью точности. В этом случае остаточный член удобней вычислять по формуле:
.
Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции минус единица.
Пример 5.2. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона . Вычислить остаточный член.
Дана таблица значений функции yi с постоянным шагом 0,005
|
|
x |
y |
|
|
1.215 |
0.106044 |
1.220 |
0.106491 |
1.225 |
0.106935 |
1.230 |
0.107377 |
1.235 |
0.107818 |
1.240 |
0.108257 |
1.245 |
0.108696 |
1.250 |
0.109134 |
1.255 |
0.109571 |
1.260 |
0.110008 |
|
|
Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента
x1 = 1.2173; x2 = 1.253; x3 = 1.210; x4 = 1.270.
Составим таблицу конечных разностей.
-
i
xi
yi
yi
2yi
3yi
1
1.215
0.106044
0.000447
-0.000003
0,000001
2
1.220
0.106491
0.000444
-0.000002
0,000001
3
1.225
0.106935
0.000442
-0.000001
-0,000001
4
1.230
0.107377
0.000441
-0.000002
0,000002
5
1.235
0.107818
0.000439
0
-0,000001
6
1.240
0.108257
0.000439
-0.000001
0
7
1.245
0.108696
0.000438
-0.000001
0,000001
8
1.250
0.109134
0.000437
0
9
1.255
0.109571
0.000437
-
10
1.260
0.110008
-
-
При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона №1:
где q = (x-x0)/h.
Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;
P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250
Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;
P1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597
P2(1.210)= P1(1.210)+ R1=0.105600
При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона:
где q = (x-xn)/h.
Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;
P1(1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968
Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;
P1(1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882
Ответ: f (1.2173) 0.106250; f (1.253) · 0.109397; f (1.210) 0.105597;
f (1.270) 0.110882.