Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных

7.1 Построение эмпирической формулы.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости y(x).

x	x₁	x₂	…	x_n
f(x)	y₁	y₂	…	y_n

Требуется подобрать формулу, которая выражает данную зависимость аналитически. Такая формула называется эмпирической.

Мы уже рассматривали один из подходов к решению данной задачи, он состоит в построении интерполяционного многочлена, значения которого будут совпадать в точках x_iс соответствующими табличными значениями f(x_i), где i=1,2..n. Но совпадения значений в узлах может вовсе не означать совпадение характеров исходной и интерполирующей функции. Требование совпадения значений тем более не оправдано, если значение функции f(x) известны с некоторой погрешностью. Поставим задачу так, чтобы с самого начала находить функцию заданного вида , которая в точках x_1, x_2… x_nпринимает значения как можно более близкие к табличным значениям y_1, y_2… y_n. Так как точную функциональную зависимость подобрать достаточно сложно, выбирают простые по виду аналитические функции, а затем устанавливают параметры этой функции. Самая простая линейная зависимость , у неё два параметра а и b . Подберем их различными методами.

7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)

Рис 7.1. Метод выбранных точек

Выбираются точки наиболее удаленные друг от друга x₁ x_n, затем составляются уравнения прямых, проходящих через эти точки. Из полученной таким образом системы находятся неизвестные параметры прямой а и b

, , .

7.3 Метод средних

Отклонением точки (x_i,y_i )от кривой назовем ε_i -разность между значением кривой в точке x_i и табличным значением y_i Лучшим положением кривой , считается такое, при котором отклонение точек от нее минимально. Количество точек делится на две части так, чтобы в каждой части, суммы ординат этих точек примерно совпадали. По каждой группе точек составляется сумма отклонений и приравнивается к нулю. Из системы находим a и b

, ,

Метод натянутой нити и метод средних не очень точны и используются обычно на предварительном этапе обработки данных для того чтобы прикинуть результаты. Рассмотрим более точный метод аппроксимации для линейной функции

7.4. Метод наименьших квадратов

Задача наименьших квадратов возникает в самых различных областях науки и техники, например, при статистической обработке данных.

Для линейной зависимости y=ax+b составляем функцию, которая представляет собой сумму квадратов отклонений от прямой: , где (-табличное значение, - эмпирическая формула). Надо определить такие значения параметров a и b , при которых функция двух переменных достигает минимума. Необходимым условием для этого является равенство нулю частных производных по a и b.