- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
9.1.2. Метод последовательных приближений.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка
с начальным условием . Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения
Метод последовательных приближений состоит в том, что решение получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекуррентной формуле
.
Доказано, если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y:
,
то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к решению задачи Коши.
Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством
,
где , а число h определяется из условия
.
В качестве начального приближения можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.
Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения
y'=x2+y2 с начальным условием y(0)=0.
Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным
В качестве начального приближения возьмем y0(x)≡0
Первое приближение находим по формуле
Аналогично получим второе и третье приближения:
На практике количество приближений выбирают так, чтобы yn и yn-1 приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n=3 и
y3 вычислено с точностью порядка 0.001.
9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
Этот метод рекомендуют применять при решении линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Суть метода покажем на примере уравнения второго порядка
с начальными условиями . Предположим, что каждый из коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням x:
, , .
Решение данного уравнения будем искать в виде ряда
, (9.3)
где - коэффициенты, подлежащие определению.
Дифференцируем обе части равенства (9.3) два раза по x:
, .
Подставляя полученные ряды для в уравнение , получим:
. (9.4)
Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и в правой частях тождества (9.4), получим систему
(9.5)
где означает линейную функцию аргументов .
Каждое уравнение системы (9.5) содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущим уравнением. Коэффициенты определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы (9.5). Доказано, что если ряды , , сходятся при , то полученный степенной ряд сходится в той же области и является решением уравнения
.
Пример 9.4 Найти решение уравнения с начальными условиями в виде степенного ряда. Ограничиться 6 членами ряда.
Разложим коэффициенты уравнения в соответствующие степенные ряды.
p(x)=-x q(x)=-1
Будем искать решение уравнения в виде ряда
y=c0+c1x+c2x2+ c3x3+ c4x4+…+cnxn+… тогда
y'=c1+2c2x+3c3x2+4c4x3+…+n cnxn-1+…
-y'x=-c1x-2c2x2-3c3x3-4c4x4-…- n cnxn+…
y''=2c2+6c3x+12c4x2+20c5x3+…+n(n-1) cnxn-2+…
Подставив полученные ряды в уравнение примера, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему для определения ci .
c0=0, c1=1 возьмем из начальных условий.
x0 c0 + 2 c2 = 0,
x1 6 c3 = 0,
x2 – c2 + 12 c4 = ,
x3 – 2 c3 + 20 c5 = 0,
x4 – 3 c4 + 30 c6 = ,
x5 – 4 c5 + 42 c7 = 0,
x6 – 5 c6 + 56 c8 = .
Решая последовательно систему, получим, что нечетные коэффициенты нули, а
Приближенное решение задачи получаем в виде