5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа

Остаточный член равен: .

Для него справедлива следующая оценка:

,

где на отрезке .

5.6. Обратное интерполирование

Пусть функция y = f(x) задана таблицей.

В задаче обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x. Мы будем считать, что в рассматриваемом интервале функция f(x) монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную y за независимую, а x считать функцией от y. Запишем по заданным узлам (y_i, x_i) (i = 0,1, … , n) многочлен Лагранжа

и определим x по заданному y. Остаточный член в этом случае можно получить из остаточного члена формулы Лагранжа, меняя местами x и y.

Пример 5.6. Функция y = f(x) задана таблицей

x	10	15	17	20
y	3	7	11	17

Найти значение x, для которого y=10.

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

где лагранжевы коэффициенты.

При y=10 получаем

5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования

Если функция y = f(x) задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например первый интерполяционный многочлен Ньютона:

_(5.4)

Рассматривая последнее выражение как уравнение относительно q, находим q по заданному значению y, а затем вычисляем x=x₀+qh

Если число узлов велико, то получим алгебраическое уравнение высокой степени, при решении которого удобно применять метод итераций. Запишем уравнение (5.4) в виде

_(5.5)

За начальное приближение принимаем _,

а затем применяем процесс итерации

В большинстве случаев при достаточно малом шаге h = x_i+1-x_i процесс итерации сходится к искомому корню.

Условием сходимости является выполнение неравенства

На практике считают до тех пор, пока два последовательных значения q_k и q_k+1 не совпадут с заданной точностью.

Пример 5.6 Используя таблицу значений функции y = sh x найти x при котором sh x=5.

Таблица 5.5.

Значения функции y = sh x

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
2.2	4.457	1.009	0.220	0.054
2.4	5.466	1.229	0.274	0.043
2.6	6.695	1.503	0.317
2.8	8.198	1.820
3.0	10.018

Составляем первый интерполяционный многочлен Ньютона, останавливаясь на разностях третьего порядка, которые практически уже постоянны:

Полагаем x₀ = 2.2, так как заданное значение y = 5 находится между y₀ = 4.457 и y₁ = 5.466. Итерирующая функция имеет вид

Начальное приближении

Затем последовательно находим

Таким образом, мы можем принять q = 0.564 и

x = 2.2+0.564*0.2 = 2.313

с точностью до 0.001.