3. Корневой метод

Корневым годографом (КГ) характеристического уравнения по вещественному параметру ρ называют совокупность траекторий, которые прочерчивают на комплексной плоскости корни этого уравнения при изменении параметра ρ от нуля до бесконечности (первый вариант) или при изменении параметра ρ от нуля до минус бесконечности (второй вариант). В том случае, когда в левой части характеристического уравнения находится многочлен и параметр ρ входит в уравнение линейно, возможно построить простую и наглядную геометрическую теорию КГ, которая будет описана в этой главе. Теория дает возможность построить (нарисовать) эскиз КГ, содержащий необходимую информацию об изменении корней характеристического уравнения системы в зависимости от ρ.

Отметим, что по умолчанию всегда подразумевается, что мы работает с положительным значением ρ.

1. Основные понятия и определения теории кг.

Задача ставится следующим образом. Задано характеристическое уравнение замкнутой системы, преобразованное к виду:

A(p) + ρB(p) = 0 (3.1)

где

A(p) = a_opⁿ + a₁p^n–1 + ... + a_n

B(p) =b_op^m + b₁p^m–1 + ... + b_m n > m

Параметр ρ обычно равен коэффициенту усиления K, умноженному на некоторую константу, обозначим ее d, связанную с нормированием старшего коэффициента многочленов.

 = d ∙ K (3.2)

Например, пусть характеристическое уравнение имеет вид:

p(T₁²p² + 2λT₁p + 1)(T₂p + 1) + K(τp + 1) = 0

преобразуем его к форме:

p(p² + 2λΩp + Ω²)(p + α) + ρ(p + β) = 0,

где ; ; ;

Все корни характеристического уравнения (1) являются непрерывными функциями параметра ρ. Пусть параметр ρ изменяется от нуля до бесконечности. Корни (1) перемещаясь по комплексной плоскости «р» прочерчивают траектории (представим себе, что каждый корень снабжен карандашом). Требуется нарисовать на комплексной плоскости эскиз траекторий корней. Вычислить точки пересечения траекторий корней с мнимой осью (критические частоты) и значения параметра в этих точках (критические значения ρ и K).

Не часто, но встречаются случаи, когда представляют интерес траектории характеристического уравнения при изменении параметра ρ от нуля до минус бесконечности. К необходимости рассматривать отрица-тельные значения параметра ρ мы приходим, когда изучается система с положительной обратной связью, или в случае когда числитель системы с отрицательной обратной связью имеет множитель (–τp + 1).

2. Логика построения эскиза корневого годографа характеристического уравнения

1. Пусть требуется построить эскиз корневого годографа уравнения

2. А(р) + ρВ(р) = 0

3. Последовательность действий

4. Из уравнений А(р) = 0 и В(р) = 0 находим n начальных точек s_i и m предельных точек q_i и наносим их на комплексную плоскость “p”.

5. Проводим разбиение действительной оси на траектории. Одни участки принадлежат КГ при ρ > 0 (основной случай), другие при ρ < 0.

6. Определяем углы выхода траекторий из начальных точек, расположенных на мнимой оси (если многочлены A(p) и B(p) не имеют корней в правой полуплоскости).

7. Вычисляем углы ψ₁ лучей n – m асимптот (в зависимости от знака ρ) и центр асимптот σ.

8. Составляем и решаем уравнение критических частот ω_{кi .} По формуле критического значения параметра вычисляем критические значения параметра ρ_кi.

9. Составляем и решаем уравнение точек встречи траекторий .Вычисляем точки встречи траекторий корней (кратные точки) и значения параметра ρ, при которых данная встреча траекторий происходит.

10. Если требуется уточнить информацию о траекториях корней в некоторой области комплексной плоскости, которая может быть ограничена двумя вертикальными прямыми, параллельными мнимой оси, то составляем и последовательно решаем уравнение траекторий корней.

11. Рисуем эскиз КГ.