Практическая работа № 10
Тема практической работы: Составление уравнений кривых второго порядка. Построение кривых второго порядка
Цель работы
1. Научиться составлять уравнения кривых второго порядка, используя различные данные
2. Освоить построение кривых второго порядка, по уравнению
Оборудование
1. Условие «Практической работы № 10»
2. Микрокалькулятор
Перечень используемых источников
1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, п/р Г.Н. Яковлева. (часть 1). – М.: Наука, 1987.
2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И Л., Математика. – М.: Высш. шк., 1991.
3. Филимонова Е.В., Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2004.
Содержание и порядок выполнения работы (описание хода работы)
Справочный материал
Окружность задана уравнением (x-a)2+(y-b)2=r2, где M(a;b) – центр окружности, r – радиус окружности.
Эллипс:
,
где F1(c;0),
F2(-c;0)
– координаты фокусов, r1,
r2 –
фокальные радиусы, a2=b2+c2,
r1+r2=2a,
e=c/a
– эксцентриситет.
Гипербола:
,
где F1(c;0),
F2(-c;0)
– координаты фокусов, r1,
r2 –
фокальные радиусы, с2=b2+а2,
e=c/a
– эксцентриситет.
Парабола: 1) y2=2px, где F(р/2;0) – координаты фокуса, r – фокальный радиус, x=-p/2 – директриса, r=x+p/2, e=c/a – эксцентриситет
2) х2=2ру, где F(0;р/2), у=-p/2 – директриса, r=у+p/2, e=c/a.
Содержание работы
1. Найти координаты центра и радиус окружности 2х2+2у2-8х+5у-4=0.
Решение: Сгруппируем члены уравнения (2х2-8х)+(2у2+5у)=4 Разделим уравнение на 2 и дополним скобки до полных квадратов: (х2-4х+4)+(у2+(5/2)у+(25/16))=2+4+(25/16) (х-2)2+(у+2,5)2=121/16 М(2;-2,5), r=11/4=2,75.
2. Составить уравнение эллипса,
проходящего через точки М(5/2;
/4),
N(-2;
;5).
Решение: Т.к. точки принадлежат
эллипсу
Отсюда находим a2=10,
b2=1
уравнение: x2/10+y2=1.
3. Составить уравнение гиперболы с
е=
,
проходящей через точку
.
Решение: Получим е=с/а=
с2=2а2.
Имеем с2=b2+а2
b2+а2=2а2
а2=b2,
т.е. гипербола равнобочная. Т.к. точка
М гиперболе, то
а2=1
уравнение гиперболы х2-у2=1.
4. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Оу, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.
Решение: Из условия очевидно, что известны координаты точки на параболе. Имеем y2=2px, полагаем х=6 и у=8 82=2р6 р=16/3 уравнение у2=32х/3.
Используя рассмотренные примеры, выполнить следующие задания:
5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0), В(1;4), если ее центр лежит на прямой х+у-3=0. Построить ее.
6. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9х-2у-41=0, 7х+4у+7=0, х-3у+1=0. Построить ее.
7. Напишите уравнение траектории движения точки на плоскости, если эта точка все время остается в два раза дальше от прямой х=4, чем от точки F(1;0). Построить ее.
8. Составить уравнение гиперболы, если ее е=2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса х2/25+у2/9=1. Построить ее.
9. Стальной трос, подвешенный за два конца на одинаковой высоте, имеет форму дуги параболы. Расстояние между точками крепления концов 20 м. Размер прогиба троса на расстоянии 2 м от точки крепления равен 13 м. Определить размер прогиба троса посередине между креплениями.
Выводы и предложения (по данной практической работе)
Рассмотреть многообразие применения кривых второго порядка. Привести примеры.
Вопросы для самоконтроля
1. Имеет ли парабола центр симметрии?
2. Верно ли, что окружности х2+у2=4 и (х-3)2+(у-3)2=1 пересекаются?
3. Является ли эллипс Рафиком некоторой функции?
4. Какая фигура получается при сжатии окружности сначала к оси Ох с коэффициентом 2, а затем к оси Оу с коэффициентом 1/3?
5. При каких значениях т уравнение 9х2+ту2=1 является уравнением: а) эллипса, б) окружности, в) гиперболы?