- •Модуль 1. Аксиоматический метод в математике. Множества
- •Задания к практическим занятиям по модулю №1
- •Практическое занятие №1. Аксиоматический метод. Теория множеств. Способы задания множеств. Алгебра множеств. Отношения между множествами
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №1
- •2.1. Правила аксиоматического построения теории
- •2.2. Теория множеств. Понятие множества
- •2.3. Способы задания множеств
- •2.4. Подмножества и равенство множеств
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №1. «Алгебра множеств. Подмножества и равенство множеств»
- •4. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №1
- •4.2. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №1 по теме: «Теория множеств. Алгебра множеств. Подмножества и равенство множеств»
- •Практическое занятие №2. Алгебра множеств
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №2. Алгебра множеств. Операции над множествами
- •2.1. Операции над множествами
- •2.2. Геометрическая интерпретация алгебры множеств
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №2. «Основные операции над множествами»
- •4. Вопросы для самоконтроля к практическим занятиям по теме «Алгебра множеств. Основные операции над множествами»
- •Практическое занятие №3. Отношения на множестве. Бинарные отношения
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №3
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №3
- •4. Вопросы для самоконтроля к практическим занятиям по теме множества. Отношения на множестве. Бинарные отношения
- •Модуль 2. Комбинаторика. Теория вероятностей
- •Задания к практическим занятиям по модулю №2
- •Практическое занятие №4. Случайные события и операции над ними. Задачи комбинаторики
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №4
- •2.1. Формулы комбинаторики
- •2.2. Теория вероятностей
- •2.3. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности. Вычисления вероятностей элементарных событий
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №4
- •4. Вопросы для самоконтроля по теме комбинаторика
- •Практическое занятие №5. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №5
- •2.1. Сложение вероятностей несовместных событий
- •2.2. Умножение вероятностей независимых событий
- •2.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
- •2.5. Сложение вероятностей совместных событий
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №5
- •4. Вопросы для самоконтроля по теме «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность»
- •Практическое занятие №6. Формулы полной вероятности, Байеса
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №6
- •2.1. Формула полной вероятности
- •2.2. Формула Байеса
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №6
- •Практическое занятие №7. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №7
- •2.1. Дискретная случайная величина. Случайные величины, законы их распределения
- •2.2. Закон распределения распределения дискретной случайной величины
- •2.3. Характеристики дискретной случайной величины
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №7
- •Практическое занятие №8. Непрерывные случайные величины. Законы распределения
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №8
- •2.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •2.2. Основные характеристики (параметры распределения) непрерывной случайной величины
- •2.3. Некоторые частные распределения
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №8
- •4. Вопросы для самоконтроля по теме «Непрерывная случайная величина. Законы распределения»
- •Практическое занятие №9. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Цель работы
- •2. Теоретический материал для практического занятия №9
- •2.1. Нормальное распределение
- •3. Примеры выполнения задания к практической работе №9
- •Литература к модулю 1
- •Литература к модулю 2
- •Приложение №1. Задания для выполнения самостоятельной работы №1
- •Задание 1
- •Задание 2. Геометрическая интерпретация операций над множествами
- •Приложение №2
- •Задания для выполнения самостоятельной работы №2
- •Комбинаторика
- •Вычисления вероятностей элементарных событий
- •Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •Задания для выполнения самостоятельной работы №3
- •Приложение №3
- •Приложение №4
Событие, обозначаемое через А, называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.
Событие А влечет В (обозначается А В), если при наступлении события А событие В обязательно происходит (случай «д» соответствует событию В А).
Если А В и В А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными (записывают А = В).
Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае А∩В= . Для совместных событий А ∩ В ≠ .
События А1, А2 ,..., Аk образуют полную группу событий, если |
|
А1 А2 ... Аk = Ω; |
(5) |
Попарно несовместные события ( Аi А j = , i ≠ j), образующие полную группу событий называют гипотезами.
2.3. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности. Вычисления вероятностей элементарных событий
Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий – элементарных исходов.
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:
m
(6)
Р (А) = n ;
3. Примеры выполнения задания к практической работе №4
В группе 15 студентов. Необходимо выбрать 5 делегатов из этой группы на конференцию. Какова вероятность быть избранным одному из студентов данной группы. Обозначим это событие через А.
Р(А)=5/15=0,3333
Задача 3.
В группе 15 студентов, из них 4 спортсмена. Необходимо выбрать 5 делегатов из этой группы на конференцию. Какова вероятность, что среди выбранных из студентов данной группы будет два спортсмена.
Решение.
Обозначим это событие, что среди выбранных из студентов данной группы будет два спортсмена, через А. Тогда вероятность этого события вычисляется по формуле (6).
|
С2 *С3 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(А)= |
= |
91 =0,332; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
15! |
|
|
11*12 *13*14 *15 |
|
|
||||||
Всего возможных исходов: С155 = 10!*5! = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 *3* 4 *5 |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
11! |
|
9 *10 *11 |
|||||
Благоприятных исходов: С42*С113 = 2!* 2!* 8!*3! =6* |
|
|
|
|||||||||||||
2 *3 |
; |
21