Вариант 20. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

Вариант 21. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

Вариант 22. Надо рассадить на одной скамейке 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 23. Надо поместить в 8 клетках 4 гласные буквы и 4 согласные так, чтобы рядом не было двух гласных или двух согласных. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 24. Сколько нулей имеет на конце число 50! ?

Вариант 25. В сейфе хранятся документы, над которыми работает комиссия в составе 5 членов. Сколько замков, по меньшей мере, должен иметь сейф и сколькими ключами следует снабдить каждого члена комиссии, чтобы доступ к документам был возможен только тогда, когда собираются любые три члена комиссии и не меньше?

Вариант 26. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Вариант 27. Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом черную. Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой кости, больше числа очков, появившихся на черной кости?

Вариант 28. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?

Вариант 29. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

Вариант 30. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

Вычисления вероятностей элементарных событий

Задание 2, 3. Задачи по классическому определению вероятности (две задачи)

Вариант 1. У стрелка относительная частота попадания в цель равна 0,92. Если произведено 150 выстрелов, то число попаданий равно . N. Найти N .

Относительная частота появления брака 0,06, тогда среди 150 деталей будет обнаружено ...

N бракованных деталей.. Найти N .

Вариант 2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Вариант 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность P(A)=1/2.

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

52

Вариант 4. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлечённая деталь окажется окрашенной.

Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Вариант 5. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не содержит цифры 5.

В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

Вариант 6. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

Вариант 7. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделён на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определённое положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

Вариант 8. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причём пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Вариант 9. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани хотя бы одной из костей появится шестёрка.

Вариант 10. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Наудачу извлечённая (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

Вариант 11. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).

«Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность P(A)=1/2.

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырём; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырём; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.

Вариант 12. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

53

В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.

Вариант 13. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей шестёрка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, …, 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

Вариант 14. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.

Вариант 15. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.

Вариант 16. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенными элементы.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Вариант 17. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

Вариант 18. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Вариант 19. В коробке пять одинаковых изделий, причём три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделён на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

Вариант 20. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

По цели произведено 20 выстрелов, причём зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

Вариант 21. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

Из колоды карт (36 карт) наугад выбирается одна. Какова вероятность, что выбранная карта

– туз?

Вариант 22. В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных шара имеют разный цвет?

54

В урне 2 синих, 2 красных и один жёлтый шар. Определить вероятность того, что среди взятых наугад двух шаров не будет жёлтого.

Вариант 23. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три карточки и ставятся слева направо. Какова вероятность того, что полученное трёхзначное число будет чётным:

Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти вероятность того, что первая цифра номера

– двойка.

Вариант 24. На перекрёстке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зелёный свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зелёный и полминуты – красный и т.д. В случайный момент времени к перекрёстку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекрёсток без остановки?

Какова вероятность того, что вынутая из колоды карта окажется трефовой масти? (В колоде 52 карты, а карт трефовой масти 13.)

Вариант 25. Какова вероятность того, что вынутая из колоды карта будет чёрной масти? (В колоде две чёрные масти: пиковая и трефовая. Число карт каждой масти в колоде равно 13.)

Какова вероятность, что при бросании монеты выпадет герб?

Вариант 26. В урне m белых и n чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым?

Двое знакомых приобрели независимо друг от друга билеты на один и тот же поезд. Какова вероятность того, что их места окажутся в одном и том же вагоне, если в поезде 12 пассажирских вагонов?

Вариант 27. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятность событий:

А - «все вышли из лифта на четвертом этаже»;

В– «все вышли из лифта на одном этаже»;

С– «все вышли из лифта на разных этажах».

Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?

Вариант 28. Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае, если все диски занимают определенные положения относительно корпуса замка, их цифры образуют определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?

В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность p того, что из них ровно s будут дефектными.

Вариант 29. В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность того, что вынутые из неё наудачу два шара окажутся белыми?

В урне имеется 5 белых и 20 чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые из неё наудачу два шара окажутся белыми?

Вариант 30. Подбросили три монеты. Какова вероятность того, что все монеты упадут надписью вверх?

Подбросили три монеты. Какова вероятность того, что только две из них упадут гербом вверх?

Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

Задание 4

55

Вариант 1. На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй – 0,008, в третий – 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызовет взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

Вариант 2. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1, а зашедшая женщина – с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?

Вариант 3. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Вариант 4. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются четыре карты. Каждая карта после вынимания возвращается в колоду. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Вариант 5. В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно наугад вынимают 2 шарика. Какова вероятность того, что они разных цветов?

Вариант 6. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают один шарик, рассматривают его на свету и кладут обратно в ящик. Опять наугад вынимают один шарик. Какова вероятность, что оба шарика белые?

Вариант 7. Каждая буква слова «комбинаторика» написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешиваются. Последовательно извлекаются четыре карточки. Какова вероятность получить слово «ромб»?

Вариант 8. Два стрелка, для которых вероятность попадания в мишень равна 0,8 и 0,7, производят по одному выстрелу в мишень. Найти вероятность:

а) двух попаданий в мишень; б) хотя бы одного попадания в мишень.

Вариант 9. В урне лежат 4 красных и 6 синих шаров. Последовательно вынимают 2 шара без возвращения их обратно. Какова вероятность того, что первый шар будет синим, а второй – красным?

Вариант 10. В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, а во второй – 6 белых и 9 чёрных. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

Вариант 11. Бросают 2 кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет чётным.

Вариант 12. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Вариант 13. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлечённых 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Вариант 14. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

Вариант 15. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна 0,9. Стрелок произвёл 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

Вариант 16. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился «герб», «появилось 6 очков».

Вариант 17. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вариант 18. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна p=0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие A).

56