Графики плотности и функции нормального распределения изображены на рис. 6.
f |
(x) |
F (x) |
|
0.4 |
|
1 |
|
0.3 |
|
0.8 |
|
|
0.6 |
|
|
0.2 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
−3 −2 −1 |
1 2 3 x |
−3 −2 −1 |
1 2 3 x |
Рис. 6.
Функция нормального распределения (37) связана с функцией Лапласа имеющей вид:
1 |
x |
2 dt |
∫e−t 2 |
||
Ф(х) = 2π 0 |
, |
|
соотношением F0(x) = Ф(х) + 0.5. Для функции Лапласа справедливо соотношение
Φ(−x) = −Φ(x).
Спомощью функции Лапласа можно вычислять интервальные вероятности для нормального
распределения N (а,σ) :
P{x |
≤ X ≤ x |
} = Φ( |
x2 −а |
) −Φ( |
x1 −а |
) |
(38) |
|
|
||||||
1 |
2 |
|
σ |
σ |
|
||
|
|
|
|
||||
Значения функций f(x) и Ф(х) можно вычислить с помощью таблицы (см. Приложения 4).
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае
N (а,σ):
Φ( |
x |
−а |
) |
(39) |
|
|
|||
F(x) = |
σ |
+ 0.5. |
||
3. Примеры выполнения задания к практической работе №9
Пример 1. Плотность распределения задана законом
|
1 |
− |
( x+1)2 |
|
|
7 |
|
||
f (x) = |
7π e |
|
. |
|
Определить вид распределения, найти функцию распределения, M(X) и D(X).
Решение. Сравнивая заданную плотность распределения с (35), можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с а =-1, значит, М(Х) = -1 – математическое
ожидание, σ2= D(Х) =7/2 – искомая дисперсия. Следовательно, функция данного нормального распределения определяется по формуле (39).
F(x) = Φ( |
x |
+1 |
|
7 2 ) + 0.5 . |
Пример 2. Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и σ. Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания а больше, чем на 3σ.
Решение. С учетом (38) будем иметь:
42
P{ X −a >3σ} =1−P{ X −a <3σ} =1−2Ф(3σ) =1−2Ф(3)
σ ,
где: Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 4):
Ф(3) ≈ 0.49865 .
Витоге P{ X −a >3σ} =1−2Ф(3) ≈ 1 – 0.9973 ≈ 0.0027.
4.Вопросы для самоконтроля по теме «Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения»
1. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4)
Рис. 4.
43
2. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4)
Рис. 4.
3. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
44
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
4. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
5. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
45
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
6. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
Рис. 2.
3)
Рис. 3.
4) нет правильного ответа
7. График плотности распределения вероятностей для нормального закона изображён на рисунке:
1)
Рис. 1.
2)
46