Случайная величина называется стандартизированной, если M (X ) = 0 и σ =1. Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
3. Примеры выполнения задания к практической работе №7
Пример 1 . Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0, 1, 2, 3. Следует найти вероятность появления герба в одном испытании. Решение. Вероятность появления герба в
p = |
1 |
|
|
2 . По формуле умножения для независимых событий: |
|||
одном испытании равна |
|||
1) Событие 1. Три раза бросили и ни разу герб не выпал. Для этого события вероятность:
P(0) = q1 q2 q3 = 213 = 18 .
2) Событие 2. Три раза бросили и один раз герб выпал. Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:
P(1) =p1 q2 q3 +q1 p2 q3 +q1 q2 p3 = 18 + 18 + 18 = 83 .
3) Событие 3. Три раза бросили и два раза выпал герб. Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:
P(2) = p p |
2 |
q |
3 |
+ q p |
2 |
p |
+ p q |
2 |
p |
3 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
8 |
8 |
8 |
8 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4)Событие 4. Три раза бросили и все три раза выпал герб. Вероятность этого события совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения.
P(3) = p1 p2 p3 = 213 = 18 .
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях. q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях. Результаты вычислений вынесены в таблицу 1.
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Событие Х |
герб |
герб |
герб |
герб |
|
не выпал |
выпал 1 раз |
выпал 2 раза |
выпал 3 раза |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Вероятность |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
события: |
|
||||
8 |
8 |
8 |
8 |
|
|
Р(хi)= рi |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х ≤ 0, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 0.
Если 0 < х ≤ 1, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8.
Если 1 < х ≤ 2, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5. Если 2 < х ≤ 3, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
34
Если х > 3, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.
Таблица 2
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
>3 |
функция распределения |
0 |
0,125 |
0,5 |
0,875 |
1 |
F( х ) |
|
|
|
|
|
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 1 в таблицу 3.
Таблица 3
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
Ряд распределения |
0,125 |
0,375 |
0,375 |
0,125 |
Р(хi)= рi |
|
|
|
|
Многоугольник распределения и полученная функция распределения вероятности представлены на рис. 4 ,5.
Вероятность события : |
|
Р(хi)= рi |
||||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
Вероятнос |
|
0,2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ть события |
||
0,1 |
|
|
|
|
: Р(хi)= рi |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
Рис. 4. Многоугольник распределения |
||||||
функция распределения F( х) : |
||||||
1,5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
функция |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
распредел |
||||||
|
|
|
|
|
ения F( х) |
|
Рис. 5. Функция распределения
Пример 3. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х |
-5 |
2 |
3 |
4 |
35
р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (21):
М(Х) = - 5 0,4 + 2 0,3 + 3 0,1 + 4 0,2 = - 0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (22): D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2,
Закон распределения Х2:
Х2 |
25 |
4 |
9 |
16 |
р0,4 0,3 0,1 0,2
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 25 0,4 + 4 0,3 + 9 0,1 + 16 0,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 = 15,3 -(-0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет: σ(X ) = 
D(Х) = 
15,21 =3,9 .
4.Вопросы для самоконтроля по теме «Дискретная случайная величина»
1.Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X |
-1 |
2 |
P |
0,3 |
0,7 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-1,7
-1,1
-0,4
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X |
-1 |
4 |
P |
0,3 |
0,6 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-2,1
-2
-1
-2,7
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X |
-5 |
6 |
P |
0,3 |
0,5 |
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-0,8
-2
-1,5
-1
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
36