- •Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
- •Содержание дисциплинарного модуля «физика и математика»
- •1. Производная функции первого порядка
- •3. Производная второго и высших порядков
- •4. Производная функции нескольких аргументов.
- •5. Дифференциал функции.
- •Неопределённый интеграл
- •2. Определённый интеграл
- •3. Основные свойства определённого интеграла:
- •1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Лабораторная работа
- •Краткая теория
- •I. Проведение статистической обработки результатов исследования
- •II. Нормальный закон распределения
- •Основные свойства кривой Гаусса.
- •2. Правила обработки результатов измерений.
- •III. Проверка распределения эмпирических данных на нормальный закон распределения.
- •1.Построение "Гистограммы".
- •2. Проверка закона распределения случайных величин на нормальность с помощью показателей асимметрии и эксцесса.
- •3. Исследование степени соответствия эмпирических и теоретических данных на нормальный закон распределения (по критерию Колмогорова).
- •IV. Получение статистического материала.
- •Ход работы
- •«Гидродинамика. Гемодинамика»
- •Модуль 2. Магнитные свойства тканей и окружающей среды
- •Ход работы.
- •Внимание!
- •Модульная единица 3 Оптика, квантовая физика, ионизирующие излучения.
- •Занятие 3.2
- •Лабораторная работа
- •Явление преломления света. Закон Снелля
- •Ход работы
- •Занятие 3.3
- •Лабораторная работа
- •Коэффициент пропускания, оптическая плотность.
- •Метод концентрационной колориметрии.
- •Устройство и принцип работы фотоэлектроколориметра.
- •Использование концентрационной колориметрии в медицине.
- •Ход работы:
- •Занятие 3.4
- •Лабораторная работа
- •Естественный и поляризованный свет
- •Поляризатор и анализатор
- •Закон Малюса
- •Вращение плоскости поляризации
- •Поляриметрия
- •Устройство и принцип работы поляриметра
- •Ход работы:
- •Вопросы к зачёту по дисциплинарному модулю «физика и математика»
- •Модуль 2. Процессы переноса в биологических системах, биоэлектрогенез, электрические и магнитные свойства тканей и окружающей среды.
- •Модуль 3. Оптика, квантовая физика, ионизирующие излучения.
- •Механические колебания и волны, акустика. Биофизика слухового анализатора.
- •Гидродинамика. Гемодинамика.
- •Электрическое и магнитное поля.
- •Геометрическая оптика. Преломление, поляризация и поглощение свет.
- •Ионизирующие излучения. Рентгеновская трубка.
- •Дозиметрия
а) не содержащие искомой функции и её производной.
б) не содержащие искомой функции.
в) линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Формулы и закономерности, используемые при решении примеров:
1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
или общий вид дифференциального уравнения.
Если , тоуравнение называетсядифференциальным уравнением в частных производных.
- общее решение дифференциального уравнения порядка k, где С1, С2,..,Сk произвольные постоянные.
- общий интеграл или общее решение, записанное в неявном виде.
Частные решения, получают из общего решения путём задания определённых численных значений (т.е. задаются начальные условия).
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
дифференциальное уравнение первого порядка
- дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Для того чтобы привести это уравнению к уравнению с разделёнными переменными нужно поделить правую и левую части выражения на :
при условии если .
После сокращения получаем:
Интегрируем это выражение:, гдеС – произвольная постоянная. Это выражение является общим решением уравнения.
Пример: найти общее и частное решения уравнения при.
Решение: Разделим переменные. Для этого, умножим обе части уравнения наи разделим на,и получим уравнение с разделёнными переменными:
, проинтегрируем это уравнение, используя основные формулы интегрирования: ,или. Потенцируя последнее равенство, получаем- общее решение.
Из условия, что при и, найдём значение С:, откуда С=2. Частное решение будет иметь вид.
3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- общий вид дифференциального уравнения второго порядка.
, - дифференциальное уравнение второго порядка, разрешённое относительно второй производной и его общее решение.
- дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции и её первой производной (решается двукратным интегрированием с введением новой функции, дающей возможность понизить их порядок).
Пример: найти общее решение уравнения .
Решение: Пусть тогдаи, тогда.
Разделим переменные, проинтегрируем и найдём первую производную: или
Разделив в последнем уравнении переменные и проинтегрировав его, найдём саму функцию у:
, таким образом,общее решение. С1, С2 – произвольные постоянные.
дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции (решается двукратным интегрированием с введением новой функции, дающей возможность понизить их порядок).
Пример: найти общее решение уравнения .
Решение: обозначим ,, тогдаили. Разделим переменные и проинтегрируем:;;. Потенцируем последнее выражение:. Так как, тоили. Разделив переменные и проинтегрировав, получим:;, откуда- общее решение исходного уравнения.
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Одним из частных решений этого уравнения является функция , гденекоторое число. Тогда:
Подставим значения производных и функции в уравнение: или. Это уравнение называютхарактеристическим уравнением данного дифференциального уравнения. Множитель отличен от нуля. Таким образом, чтобы функциябыла решением дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобыбыло корнем характеристического уравнения. Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением второй степени, корни которого находят по формуле:
Если корни k1 ≠ k2 - действительные и различные числа, то все решения уравнения даются формулой:
, где С1, С2 – произвольные постоянные.
Если k1=k2=k - действительные и равные числа, то все решения уравнения даются формулой:
, где С1, С2 – произвольные постоянные.
Если k1,2=) - комплексные числа, то все решения уравнения даются формулой:
, где С1, С2 – произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение: После ряда преобразований, получаем характеристическое уравнение: . Используя формулу, найдём корниk1=1 и k2=3 - действительные и различны, значит общее решение уравнения: .
Решить примеры:
а) найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
при ;
, при;
, при ;
при ;
, при ;
, при ;
, при ;
, при ;
; при ;
, при ;
б) найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
в) найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:
г) найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
ЗАНЯТИЕ 1.4
ТЕМА: «ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
Цель занятия: Контрольная работа.
Студент должен уметь:
Использовать формулы для определения производной сложной функции, использовать правила и методы нахождения первообразной функции, вычислять определённый интеграл, находить общее решение дифференциальных уравнений.
В каждом варианте контрольной работы пять заданий:
Найти производную сложной функции.
Найти первообразную функции.
Вычислять определённый интеграл.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
(при выполнении заданий можно использовать справочную литературу)