13,14. Мода и медиана в ст-ке. Их вычисл. По несгруп. Данным, в дискр. И интерв. Рядах распр-ия.

Структур. средние примен-ся для изуч. внутр-го строения рядов распр-ия знач-ий приз-ка, а также для оценки сред. велич., если по имеющ-ся данным её расчет не м.б. выполнен. В кач. стуктур. сред. чаще всего исп-ся показ-ли: мода и медиана.

Мода – наиб. часто встреч-щееся знач. приз-ка у ед-ц данной сов-ти.

Медиана– знач. призка, кот. лежит в серед. ранжир. ряда и делит его пополам.

Расчет моды и мед-ны по несгруп. данным.

Пример. Рабочие бригады, сост. из 7 чел. им. след. стаж работы: 5 3 10 5 8 12 6. Т.к. в бригаде больш-во рабоцих им. стаж 5 лет , этот стаж и будет модальным. Мо = 5 лет. Для опр-ия мед-ны необх-мо провести ранжир-ие: 3 5 5 6 8 10 12. Центр-ым в эт. ряду явл-ся рабочие с 6тилет. стажем, след-но данный стаж и будет медианой. Ме = 6 лет. Для опр-ия медианного знач. приз-ка находят номер медианной ед-цы ряда.NМе = n+1 / 2

Расчет моды и мед-ны по сгруп. данным.

А) в дискр. рядах распр-ия.Пример. Им-ся распр-ие семей по числу чел-к в них:

Число чел. в семье (Хi) 2 3 4 5 6 7 Итого

Число семей (fi) 7 (fmax) 6 4 4 2 1 24

Накопл. частоты 7 13 17 21 23 24

Мода в дискр. ряду распр-ия– знач. приз-ка с наибольш. частотой.Для опр-ия медианынеобх-мо подсчит. сумму накопл. частот ряда. Наращ-ие продолж. до получ-ия накопл-ой суммы частот, превыш-ей половину. Соотв-ие этой частоте знач. приз-ка и будет медианой.

Б) в интерв. рядах. распр-ия.Мода опр-ся по ф-ле:

Mo = XMO+iMO*(fMO-fMO-1) / ((fMO-fMO-1)+(fMO-fMO+1))

XMO - внеш. гр-ца модал-го инт-ла (т.е. инт-ла, им-щего наибольш. частоту)

iMO - велич. модал-го инт-ла

fMO– частота модал-го инт-ла

fMO-1– частота инт-ла, предшест-го модал-му

fMO+1– частота инт-ла, след-го за модал-ым.

Расчет мед-ны осущ-ся по ф-ле:

Me = XME+iME*(1/2∑fi – SME-1) / fME

XME– ниж. гр-ца мед-го инт-ла (мед-ым наз-ся 1ый инт-л, накопл-ая частота кот. превыш. Половину общей суммы частот)

iME– велич. мед-го инт-ла

∑fi– сумма частот

SME-1– накопл. частота инт-ла, предш-щего мед-му

fME– частота мед-го инт-ла.

В доп-ие к медианам для харак-ки строения вариац. ряда рассчит-ют:

- квартили (знач. приз-ка, делящее ряд на 4 равные части)

- децили (на 10 равных частей)

- перцентили (на 100 частей)

15. Понятие вариации и её знач. Осн. Показ-ли вариации, их достоин-ва и знач.

Вар-ция приз-ка предст. соб. различие индивид-ых знач. приз-ка внутри изучаемой сов-ти.

Изучая силу и хар-р вар-ции в исслед-мой сов-ти, м. оценить наск-ко однород. явл-ся данная сов-ть, а след-но наск-ко харак-ой явл-ся рассчит-ая сред. велич. Если индивид. знач. приз-ка ряда близко примык. к сред. ариф., незначит. отлич. др. от др., то средняя хорошо предст. всю сов-ть. Если же отд-ые знач. приз-ка знач-но отклон-ся от средней, то изучаемая сов-ть менее однородна, след-но и средняя велич. менее надежна.

Для измер. вар-ции приз-ка примен-ся различ. абс. и отн. показ-ли.

Абс. пок-ли вар-ции: размах вар-ции, сред. лин-ое отклон-ие, дисперсия, сред. квадратич. отклон-ие.

Размах вар-циипредст. соб. разность м/у макс-ым и миним-ым знач. приз-ка в изучаемой сов-ти.R = XMAX – XMIN. Размах вар-ции хар-ет только крайние отклон-ия, но не отраж. отклон-ие от средней всех знач. приз-ка ряда.

Сред. лин-ое отклон-иеучит-ет различия всех ед-ц изучаемой сов-ти. Оно опр-ся без учета знака отклон-ий.

đ = ∑ |Xi-X(с ч.)| / n- для несгруп. данных

đ = ∑ |Xi-X(с ч.)|*fi / ∑fi- для сгруп. данных

Дисперсия– сред. квадрат откл-ий индивид. знач. приз-ка от их сред. велич.

∂² = ∑ (Xi – X(с ч.))² / n- для несгруп. данных

∂² = ∑ (Xi – X(с ч.))²*fi / ∑fi- для сгруп. данных

Расчет дисперсии по сп-бу моментов– примен-ся в вариац. рядах с равн. инт-ми.

∂² = i² (m₂-m₁²)i– велич. инт-ла

m_{1 =} ∑ (Xi-A / i)fi / ∑fi m₁ – момент 1-го порядка

m_{2 =} ∑ (Xi-A / i)²fi / ∑fi m₂ – момент 2-го порядка

A– усл. велич., в кач. кот. обычно исп-ют середину центр-го инт-ла.

Дисперсию м. также рассчит. по ф-ле:

∂² = Х²(с ч.) – (Х(с ч.))²

Х²(с ч.) – сред. квадрат знач. приз-ка

(Х(с ч.))²– квадрат среднего знач. приз-ка

Сред. квадратич. откл-ие ∂ = √∂²

Оно показ. наск-ко в сред. отклон-ся отд-ые варианты приз-ка от его сред. знач. Чем оно меньше, тем лучше сред. велич. предст. собой всю изучаемую сов-ть.

Отн. пок-ль вар-цииисп-ся в целях сравнения колеблимости различ. приз-ов в одной и той же сов-ти или при сравнении колеблимости одного и того же приз-ка в неск-их сов-ях.

1. Коэф-т осцилляцииотраж. относит-ую колеблимость крайних знач. приз-ка вокруг средней.VR = R / X (с ч.) * 100R– размаз вар-ции,X(с ч.) – сред. ариф.

2. Относит. лин-ое отклон-ие харак-ет долю усред-го знач. абс-ых отклон-ий от сред. велич.Vđ = đ / X (с ч.) * 100đ – сред. лин-ое отклон-ие

3. Коэф-т вар-ции хар-ет степень однород-ти сов-ти по изучаемому приз-ку.V∂ = ∂ / X (с ч.) * 100. Сов-ть счит-ся однородной, если коэф-т вар-ции не превыш. 33%.