3.2.РАСЧЕТЫ НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

3.2.1.Задача №3

Стальной брус с ломанной осью (рис.3.7) нагружен силами Pi . Требу-

ется:

1).Выполнить проектировочный расчет, то есть подобрать размеры сечений бруса, прямоугольного - b ×h , круглого - d , используя четвертую (энергетическую) теорию прочности и пренебрегая напряжениями от нормальной N и перерезывающих QY , QZ сил. Выбрать рациональную ори-

ентацию прямоугольного сечения, то есть длинная сторона сечения должна быть параллельна плоскости действия максимального изгибающего момента на участке бруса.

2).Для выбранных размеров сечений бруса определить максимальные величины напряжений σ и τ от нормальных и перерезывающих сил, не учтенных в проектировочном расчете и сделать вывод об их влиянии на прочность бруса.

3).Определить смещение крайнего (свободного) сечения бруса в направлении приложенной в нем силы. При вычислении перемещений пренебречь деформациями сдвига (от перерезывающих сил) и растяжениясжатия (от нормальной силы).

При выполнении задачи значения коэффициентов α , β , γ необходимых для расчета касательных напряжений кручения и перемещений бруса

74

инерции сечения при кручении - Jк = βb3h .

Порядок выполнения задачи:

1).Строят эпюры силовых факторов в сечениях рамы по участкам, используя метод сечений.

2).По эпюрам изгибающих и крутящего моментов определяют опасные сечения для частей бруса с прямоугольного и круглого сечений. Опасными будут сечения, в которых возникают одновременно большие по величине изгибающие и крутящие моменты. Так как эпюры моментов в рассматриваемых вариантах линейны, то потенциально опасными сечениями будут только сечения на границах участков.

3).Для выбранных сечений строят (качественно) эпюры нормальных и касательных напряжений и выбирают опасные точки. Для выбранных опасных точек выражают напряжения σ и τ через известные моменты и неизвестные размеры сечения b или d и записывают условие прочности через эквивалентное напряжение. Из условия прочности определяют необходимые размеры сечения, из размеров полученных для разных опасных точек (опасных сечений) в качестве окончательного выбирают наибольший.

4).Рассчитывают нормальные напряжения от нормальной силы и касательные напряжения от перерезывающих сил по формуле Журавского, оценивают их влияние на прочность бруса.

5).Рассматривают единичное состояние бруса, прикладывая единичную силу по направлению искомого перемещения, строят эпюры изгибающих и крутящих (единичных) моментов от действия единичной нагрузки. Перемножая единичные эпюры на эпюры соответствующих силовых факторов от заданной внешней нагрузки (грузовые эпюры) по формуле Верещагина или Карнаухова-Симпсона определяют искомое перемещение.

75

Рис.3.7

1).Построение эпюр силовых факторов в рассматриваемом брусе от задан-

ной нагрузки (грузовых эпюр).

Уточним некоторые особенности построения эпюр в пространственных стержневых конструкциях. Во-первых, эпюры изгибающих моментов строятся всегда на сжатых волокнах (без указания знака) и в плоскости действия соответствующего изгибающего момента, во-вторых, эпюры перерезывающих сил строятся в плоскости действия соответствующей силы (без указания знака), эпюры нормальной силы и крутящего момента (с указанием знака) строятся в произвольных плоскостях. Силовые факторы в сечениях определяются методом сечений, при этом для каждого участка бруса выбирается своя система координат.

На рис.3.9, а изображена ось бруса с приложенными нагрузками и опорами, там же обозначены границы участков. На рис.3.9, б, в, г, д проил-

77

люстрировано применение метода сечений для каждого из участков бруса, там же показаны оси координат для каждого из участков и искомые силовые факторы.

Записывая уравнения равновесия для частей бруса изображенных на рис.3.9, б, в, г, д, находим выражения для всех силовых факторов на участ-

ках бруса. В качестве моментных каждый раз выбираются оси рассматриваемого произвольного сечения (с координатой - x).

78

Участок 1 АВ (см. рис.3.9, б).

Для определения нормальной и перерезывающих сил составляем уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

1)из ∑FXi 1 = 0 N1 = 0 ;

2)из ∑FYi 1 = 0 QY1 +3P =0 или QY1 = −3P (знак «-» означает, что действительное направление перерезывающей силы противоположно изображенному на рисунке);

3)из ∑FZi 1 = 0 QZ1 =0 .

Для определения изгибающих и крутящего момента составляем уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно осей координат:

4)из ∑M X 1(Fi ) = 0 M КР1 =0 ;

5)из ∑MY1(Fi ) = 0 MY1 =0 ;

6)из ∑MZ1(Fi ) = 0 MZ1 −3Px1 = 0 или MZ1 = 3Px1 , зависимость мо-

MZ1(1.5a) = 3 1.5a P = 4.5Pa (положительное значение указывает на то,

что показанное на рисунке направление момента правильное и момент сжимает дальние волокна).

По полученным значениям строим эпюры силовых факторов для участка. Эпюры QY1 и MZ1 строим в плоскости X1Y1 , см. рис.3.10.

3)из ∑FZi 2 = 0 QZ2 =0 .

Для определения изгибающих и крутящего момента составляем уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно осей координат:

4)из ∑M X 2 (Fi ) = 0 M КР2 =0 ;

5)из ∑MY2 (Fi ) = 0 MY2 = 0 ;

6)из ∑MZ 2 (Fi ) = 0 MZ2 −3P 1.5a − 2.5Px2 =0 MZ2 = 4.5Pa + 2.5Px2 ,

зависимость момента от координаты линейная, значит, эпюру строим по

на то, что показанное на рисунке направление момента правильное и момент сжимает нижние волокна).

79

По полученным значениям строим эпюры силовых факторов для участка. Эпюры QY2 и MZ2 строим в плоскости X2Y2 , эпюру N2 в произволь-

ной плоскости, см. рис.3.10.

Участок 3 СD (см. рис.3.9, г).

Для определения нормальной и перерезывающих сил составляем уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

1)из ∑FXi 3 = 0 получаем N3 =0 ;

2)из ∑FYi 3 = 0 QY3 − 2.5P =0 или QY3 = 2.5P ; 3)из ∑FZi 3 = 0 QZ3 −3P =0 или QZ3 = 3P .

Для определения изгибающих и крутящего момента составляем уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно осей координат:

4)из ∑M X 3 (Fi ) = 0 M КР3 −3P 1.5a − 2.5P 2a =0 или M КР3 = 9.5Pa , («+» означает, что крутящий момент в сечении направлен против часовой стрелки);

5)из ∑MY3 (Fi ) = 0 MY3 +3Px3 =0 или MY3 = −3Px3 , зависимость момента от координаты линейная, эпюру строим по значениям на границах участка – т.С x3 = 0 , MY3 (0) =0 , т.D x3 = 2a , MY3 (2a) = −6Pa («-» означа-

ет, что изгибающий момент в сечении направлен противоположно показанному на рисунке и следовательно сжимает дальние волокна);

6)из ∑MZ 3 (Fi ) = 0 MZ3 − 2.5Px3 =0 MZ3 = 2.5Px3 , зависимость момента от координаты линейная, значит, эпюру строим по значениям на границах участка – т.С x3 = 0 , MZ3 (0) =0 , т.D x3 = 2a , MZ3 (2a) = 5Pa (по-

ложительные значения указывают на то, что показанное на рисунке направление момента правильное и момент сжимает нижние волокна).

По полученным значениям строим эпюры силовых факторов для участка. Эпюры QY3 и MZ3 строим в плоскости X3Y3 , эпюры QZ3 и MY3 стро-

им в плоскости X3Z3 , эпюры N3 и M КР3 в произвольной плоскости, см.

рис.3.10.

Участок 4 DЕ (см. рис.3.9, д).

Для определения нормальной и перерезывающих сил составляем уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

1)из ∑FXi 4 = 0 получаем N4 +3P = 0 или N4 = −3P («-» означает, что участок сжат);

2)из ∑FYi 4 = 0 QY4 − 2.5P =0 или QY4 = 2.5P ; 3)из ∑FZi 4 = 0 QZ4 =0 .

Для определения изгибающих и крутящего момента составляем уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно осей координат:

4)из ∑M X 4 (Fi ) = 0 M КР4 + 2.5P 2a =0 или M КР4 = −5Pa , («-» означа-

ет, что крутящий момент в сечении направлен по часовой стрелке);

80

5)из ∑MY4 (Fi ) = 0 MY4 +3P 2a =0 или MY4 = −6Pa , изгибающий момент постоянен по длине участка («-» означает, что изгибающий мо-

мент в сечении направлен противоположно показанному на рисунке и следовательно сжимает ближние волокна);

6)из ∑MZ 4 (Fi ) = 0 MZ4 −3P 1.5a − 2.5P(x4 + 2a) = 0 MZ4 = 4.5Pa + 2.5P(x4 + 2a), зависимость момента от координаты линейная, значит, эпюру строим по значениям на границах участка – т. D x4 =0 ,

MZ4 (0) = 9.5Pa , т.Е x4 = 1.5a , MZ4 (1.5a) =13.25Pa (положительные зна-

чения указывают на то, что показанное на рисунке направление момента правильное и момент сжимает нижние волокна).

По полученным значениям строим эпюры силовых факторов для уча-

Рис.3.10

2). Проектировочный расчет (определение размеров сечения бруса). Анализируя эпюры изгибающих и крутящего моментов, выбираем рациональную ориентацию прямоугольного поперечного сечения на участках ВС и DE бруса.

Для определения опасного сечения бруса следует рассматривать отдельно участки с прямоугольным (ВС и DE) и круглым (АВ и СD) сечени-

81

ем, так как их размеры определяются независимо. В рассматриваемом примере потенциально опасными будут:

1 - для участков с прямоугольным сечением, сечение Е на участке DE, где возникают самый большой изгибающий момент во всем брусе

MZE4 = 13.25Pa в вертикальной плоскости, значительный изгибающий мо-

плоскости.

Очевидно, что остальные сечения бруса менее опасны.

Для опасных сечений строим эпюры распределения нормальных и касательных напряжений и определяем опасные точки. Предварительно выразим необходимые для дальнейших расчетов геометрические характеристики поперечных сечений.

Для круглого:

J кр = πd 4 / 64 0.05d 4 - осевой момент инерции;

W кр = πd 3 / 32 0.1d 3 - момент сопротивления изгибу; Jρкр = πd 4 / 32 0.1d 4 - момент инерции при кручении;

Wρкр = πd 3 / 16 0.2d 3 - момент сопротивления кручению. Для прямоугольного:

Jmaxпр = bh3 / 12 = b(2.5b)3 / 12 = 1.3b4 - осевой момент инерции относительно главной центральной оси сечения параллельной короткой стороне,

Wmaxпр = Jmaxпр / (0.5h)=1.3b4 / (1.25b)= 1.04b3 - момент сопротивления изгибу относительно той же оси;

Jminпр = b3h / 12 = b32.5b / 12 = 0.208b4 - осевой момент инерции относительно главной центральной оси сечения параллельной длинной стороне,

Wminпр = Jminпр / (0.5b)=0.208b4 / (0.5b)= 0.416b3 - момент сопротивления из-

где коэффициенты α и β взяты для отношения h / b = 2.5 .

Максимальные нормальные напряжения изгиба и максимальные касательные напряжения кручения возникают всегда на внешнем контуре сечения, поэтому опасные точки также находятся на внешнем контуре.

Распределение напряжений в опасном сечении Е участка DE представлено на рис.3.11, а. Потенциально опасными точками в сечении явля-

82

ются угловые где возникают максимальные нормальные напряжения изгиба и середины сторон где максимальные касательные напряжения кручения сочетаются с нормальными напряжениями изгиба.

Достаточно рассмотреть три варианта опасных точек: угловые, где нормальные напряжения изгиба в двух плоскостях σиmaxY 4 и σиmaxZ 4 складыва-

ются с одинаковым знаком, точка 1 (максимальные растягивающие напряжения), точка 5 (максимальные сжимающие напряжения); точка 2 (или 6),

пряжения; точка 4 (или 8), где одновременно возникают нормальные σиmaxY 4

и касательные τmax напряжения.

Записывая условия прочности для этих точек определим размер сечения - b : для точки 1 - σиmaxY 4 + σиmaxZ 4 ≤[σ], выражая напряжения изгиба через

83

3).Для найденных размеров сечений бруса определим максимальные напряжения σN от нормальных и τQ перерезывающих сил, не учтенных в

Величина максимальных касательных и нормальных напряжений от перерезывающих и нормальных сил, не учтенных в проектном расчете, составляет менее 1% от допускаемых напряжений (допустима перегрузка не более 5%). Таким образом, влиянием напряжений от перерезывающих и нормальных сил в рассматриваемом примере можно пренебречь.

4).Определим перемещение A крайнего сечения А по горизонтали

вдоль оси участка CD. Рассчитаем (численно) геометрические характеристики поперечных сечений бруса необходимые для определения переме-

щения. Для круглого сечения: J кр =0.05d 4 =0.05 1274 =1.3 107 мм4 - осевой момент инерции; Jρкр =0.1d 4 = 2.6 107 мм4 - момент инерции при

тельно главной центральной оси сечения параллельной короткой стороне;

Jminпр = 0.208b4 = 0.208 794 = 8.1 106 мм4 - осевой момент инерции относительно другой главной центральной оси сечения;

Jкпр = 0.623b4 = 0.623 794 = 2.43 107 мм4 - момент инерции при кручении.

Рассмотрим единичное состояние бруса, отбросив внешнюю нагрузку и приложив единичную силу по направлению искомого перемещения, см. рис..а. Для единичного состояния построим эпюры изгибающих и крутя-

щего моментов (единичных моментов). Строить эпюры единичных нормальных и перерезывающих сил не требуется, так как перемещениями связанными с этими силами можно пренебречь в связи с их незначитель-

85

ностью. Построение эпюр единичных факторов выполняется также как для грузовых. Единичные эпюры показаны на рис.3.12, б.

эпюры единичных изгибающих и крутящего моментов

Рис.3.12

Перемещение A определим, перемножая эпюры грузовых и единичных моментов по формуле Корнаухова-Симпсона: A = ∑Mi × Mi , см.

раздел 2.7 первой части настоящего пособия. Для удобства перемножение эпюр выполним отдельно по участкам (учитывая, что при рациональной ориентации прямоугольного сечения максимальному изгибающему моменту соответствует максимальный момент инерции).

Участок 1 АВ. Не имеет одноименных единичных и грузовых эпюр моментов, следовательно вклада в перемещение A не дает.

Участок 2 ВС. Не имеет одноименных единичных и грузовых эпюр моментов, следовательно вклада в перемещение A не дает.

Участок 3 СD. Перемножение эпюр изгибающих моментов в вертикаль-

ной плоскости 2a (−(0 1.5a)−4 (2.5Pa 1.5a)−(5Pa 1.5a))= − 45Pa3 , 6EJ кр 6EJ кр

перемножение эпюр изгибающих моментов в горизонтальной плоскости

2a ((0 2a)+4 (3Pa 2a)+(6Pa 2a))= 12Pa3 . 6EJ кр EJ кр

86

Участок 4DЕ. Перемножение эпюр изгибающих моментов в горизонталь-

При перемножении эпюр знак «-» берется если они имеют разные знаки (в случае крутящих моментов) или если отложены по разные стороны от оси бруса на участке (в случае изгибающих моментов).

Складывая результаты перемножений на участках получим перемещение в общем виде:

правлено вправо, по направлению единичной силы.

3.2.2. Задача №4

Тонкостенная замкнутая труба (рис.3.13) подвергается действию внутреннего - pв или наружного - pн давления и скручивается парами сил - m .

Кроме того, на трубку действуют силы - P параллельные ее оси с эксцентриситетом - e . Диаметры трубки D - наружный, d - внутренний. Материал трубки сталь с пределами текучести: σТр - на растяжение; σТс - на

сжатие. Требуется:

1.Исследовать напряженное состояние в наиболее опасных точках и определить в них значение компонентов напряженного состояния;

2.Провести анализ напряженного состояния в опасных точках и определить главные напряжения;

3.Найти значение эквивалентного напряжения σэкв в опасной точке, определить запас прочности n .

Данные, необходимые для решения задачи выбрать из табл.3.5.

87