С= 6 2lEJ ((0.5ql2 ) (−3l) +4 (−0.25ql2 ) (−2l) +(−2ql2 ) (−l)) +

+6 lEJ ((−2ql2 ) (−l) +4 (−0.875ql2 ) (−0.5l) +0) = 1.458qlEJ 4

3.1.2.Задача №2

Для заданной стальной рамы (рис.3.4) требуется:

1).Раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры QY , MZ , N .

2).Выполнить проектировочный расчет, подобрав сечение (в виде прокатного двутавра или двух швеллеров) из условия прочности по нормальным напряжениям.

3).Определить перемещение одного (на границах участков) и угол поворота одного сечения балки, любым методом. При определении перемещений деформациями сдвига и растяжения сжатия пренебречь, ввиду их малости.

Данные, необходимые для решения задачи, выбрать из таблицы вариантов (Табл.3.2). При решении задачи модуль продольной упругости стали принять - E = 200000 МПа. Коэффициент запаса прочности принять для

всех вариантов - n =1.5 .

Для всех вариантов считать силовую линию совпадающей с осью наименьшей жесткости сечения балки.

66

Пример выполнения задачи №2

Для заданной стальной рамы опертой на две шарнирно-неподвижные опоры, нагруженной распределенной нагрузкой q и сосредоточенной си-

лой Р: раскрыть статическую неопределимость; подобрать сечение в виде сдвоенного швеллера из условия прочности; и определить горизонтальное смещение сечения C. Допускаемое напряжение материала рамы на изгиб [σ ]=190МПа, размеры рамы и величины нагрузок указаны на рис.3.5.

Решение:

1). Определяем степень статической неопределимости рамы, s =1 так как имеются 4 реакции внешних связей (по 2 в шарнирно-неподвижных опорах) и всего 3 уравнения равновесия.

Образуем из заданной рамы основную систему отбрасывая горизонтальную связь в сечении В (т.е. превращая опору в шарнирноподвижную). Заменяя отброшенную связь лишним неизвестным X1 , полу-

чаем эквивалентную раму, (рис.3.5).

2).Запишем систему канонических уравнений метода сил для эквивалентной системы, в данном случае она состоит из одного уравнения:

есть смещение по направлению отброшенной связи (горизонтальное смещение сечения В) под действием внешней нагрузки, а δ1,1 - смещение по

направлению отброшенной связи под действием X1 = 1. Для нахождения

этих величин рассмотрим грузовое состояние (при действии только внешней нагрузки) и единичное состояния основной системы (рис.3.5).

Для грузового и единичного состояния строим эпюры изгибающих моментов. Для определения 1,Р , δ1,1 при построения эпюр достаточно

вычислить значения изгибающих моментов лишь на границах и в серединах участков. Эпюру моментов строим на сжатых волокнах. При использовании метода сечений искомые изгибающие моменты всегда направляем так, чтобы сжимались внешние волокна.

Грузовая эпюра. Определяем реакции грузового состояния в опорах эквивалентной рамы из условий равновесия:

∑FiX = 0 : −qh − 2qh + X AP = 0 X AP = 3qh = 3 1.2 4 = 14.4кН .

∑M A(Fi ) = 0 : qh 0.5h − Pb + RBP 2b = 0

∑FiY = 0 : −Р+ RBP +YАP = 0 YRP = Р− RBP = 36 −16.1 = 19.9кН .

При использовании метода сечений искомые изгибающие моменты всегда направляем так, чтобы сжимались внешние волокна, тогда полученные

68

отрицательные значения моментов будут соответствовать сжатым внутренним волокнам рамы.

Изгибающие моменты на участке АС:

сечение А - МАСА = 0 ;

сечение В – МАСсред = q h 0.5h − X AP h = 1.2 4 0.5 4 −14.4 4 = −48 кН ;

среднее сечение –

МАСсред = q 0.5h 0.25h − X AP 0.5h = 1.2 0.5 4 0.25 4 −14.4 0.5 4 = −26.4 кН.

Изгибающие моменты на участке СЕ: Сечение С –

МСЕС = q h 0.5h − X AP h = 1.2 4 0.5 4 −14.4 4 = −48 кН ;

сечение Е –

МСЕЕ = q h 0.5h − X AP h +YAP b = 1.2 4 0.5 4 −14.4 4 +19.9 2.5 = 1.8 кН ;

среднее сечение –

МСЕсред = q h 0.5h − X AP h +YAP 0.5b = 1.2 4 0.5 4 −14.4 4 +19.9 0.5 2.5 =

=−23.1 кН.

Изгибающие моменты на участке BD

сечение B - МBDB = 0 ;

сечение D – МBDD = −q 2h h = −1.2 2 4 4 = −38.4 кН

среднее сечение – МBDсред = −q h 0.5h = −1.2 4 0.5 4 = −9.6 кН . Изгибающие моменты на участке DE

сечение D - МDDЕ = −q 2h h = −1.2 2 4 4 = −38.4 кН ;

сечение E – МDEE = −q 2h h + RBP b = −1.2 2 4 4 +16.1 2.5 = 1.8 кН

среднее сечение –

МDEсред = −q 2h h + RBP 0.5b = −1.2 2 4 4 +16.1 0.5 2.5 = −18.3 кН .

По полученным значениям строим грузовую эпюру моментов

(рис.3.5).

Единичная эпюра. Аналогично вычисляем изгибающие моменты для единичного состояния (рис.3.5).

Смещения δ1,1 , 1,Р вычислим способом Верещагина. Перемножая грузо-

вую и единичную эпюры моментов и учитывая что слагаемые в формуле Симпсона-Карнаухова имеют знак «+» при перемножении моментов

69

Рис.3.5

сжимающих одноименные волокна, знак «-» в противном случае получаем:

70

1,Р = 6EJ1 (4 (0 −4 2 26.4 −48 4) + 2.5 (−4 48 −4 5 23.1 −1.8 6) +

2.5 (1.8 6 −4 18.3 7 −38.4 8) +8 (−38.4 8 −4 4 9.6 +0)) = −1488 кНм3 . EJ

Аналогично, перемножая единичную эпюру саму на себя, получим:

полученного результата означает, что первоначальное направление X1 со-

ответствует действительному. Статическая неопределимость раскрыта. 3).Построение эпюр силовых факторов для исходной рамы.

Можно, как и в предыдущей задаче, построить эпюры, рассмотрев эквивалентную (статически определимую) раму, нагруженную заданной нагрузкой и найденной силой X1 . Однако, удобнее использовать метод суперпо-

зиции нагрузок. Так реакции в исходной раме можно найти, складывая (с учетом направлений) реакции в грузовом состоянии и реакции в единичном состоянии умноженные на величину X1 :

X A = X AP + X AI X1 = 14.4 −1 3.93 = 10.5 кН ;

YA =YAP +YAI X1 = 19.9 +0.8 3.93 = 23.1 кН ;

RB = RBP + RBI X1 = 16.1 −0.8 3.93 = 12.9 кН .

Эпюра нормальной силы N . Участок АС - N AC = −YA = −19.9 кН ;

участки СЕ и ED - NCE = NED = −X A + qh = −10.5 +1.2 4 = −5.7 кН ;

участок BD - NBD = −RB = −12.9 кН . По полученным значениям строим

эпюру N , рис.3.6.

Эпюра перерезывающей силы Q (положительной считается перерезывающая сила стремящаяся вращать рассматриваемую часть рамы по часовой

QBD (0) = −X1 = −3.93 кН , QBD (2h) = q2h − X A =1.2 2 4 −3.93 = 5.7 кН .

По полученным значениям строим эпюру Q , рис.3.6.

71

направлению единичной силы (смотри единичное состояние на рис.3.6), то есть сечение С смещается влево.

0

YA=0.8 MI, [м]

RB=0.8

Рис.3.6

73