2.5.Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций

Общие сведения. Как уже известно, статической называется нагрузка, которая весьма медленно возрастает от нуля до своего конечного значения. Ускорения частиц элементов конструкции от такой нагрузки невелики, а потому можно силами инерции пренебречь. При быстро возрастающей нагрузке необходимо учитывать силы инерции, появляющиеся в результате деформации системы; силы инерции необходимо учитывать также при действии нагрузки, вызывающей движение тела с некоторым ускорением. Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. К динамическим также относятся ударные нагрузки, хотя при расчете на удар в ряде случаев пренебрегают силами инерции, возникающими в конструкции.

Расчет на действие динамической нагрузки (динамический расчет) производят при проектировании частей конструкций, находящихся под действием ударной или вибрационной нагрузки, создаваемой станками, двигателями, молотами и другими механизмами и вызывающей колебания сооружений. Многие части машин также находятся под действием динамической нагрузки.

Динамический расчет имеет целью обеспечить необходимую прочность конструкции и не допустить значительных ее деформаций.

При динамической нагрузке любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил (включая опорные реакции), усилий, представляющих собой действие соседних элементов, и сил инерции. Это положение, как известно, носит название принципа Даламбера.

Силы инерции, так же как и силы тяжести, представляют собой объемные силы, так как они приложены к каждой элементарной частице объема тела. Величина dФи элементарной силы инерции, действующей на

каждую частицу тела, равна произведению массы dm этой частицы на ее ускорение a и направлена противоположно ускорению: dФи = a dm (2.54).

элементарной частицы.

При расчете стержневых систем объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по длине оси каждого стержня, т. е. распределенной погонной инерционной нагрузкой. Интенсивность qи этой

нагрузки равна отношению dФи / dx , где dФи - сила инерции, действую-

щая на элемент стержня длиной dx .

Подставим в формулу (2.55) вместо dV объем элемента стержня длиной dx , равный F dx :

22

речного сечения стержня. Интенсивность распределенной инерционной нагрузки выражается в Н / мм, кН / м и т.п.

Динамические задачи, приводимые к задачам статического расче-

та систем. Рассмотрим балку постоянного сечения, подвешенную на тросе крана (рис.2.10); эта балка изогнута в результате действия ее собственного веса. После включения двигателя крана сечение А балки, в котором к ней прикреплен трос, начинает подниматься с некоторым ускорением. Возникают силы инерции, распределенные по длине оси балки. Интенсивность их определяется формулой (2.55).

Если при этом ускорения «собственныхбалки. » перемещенийЕслипри малыэтомпо сравнениюускорения с ускорениями «заданных» перемещений, то влиянием деформаций на распределение сил инерции можно пренебречь и считать эти силы равномерно распределенными по длине балки. Аналогично и при решении ряда других динамических задач можно пренебрегать влиянием деформаций системы. Решение таких задач сводится к статическому расчету от действия известных сил инерции.

номерно распределена по длине бруса и направлена в сторону, противоположную ускорению, т. е. вниз.

Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось X : ∑Fix = S −G − qиl = 0 , откуда qи = (S −G)/ l . Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, отстоящем на рас-

23

qи = γgF a = γgF ω2r (2.56). Эпюра qи показана на рис.2.13, б.

Формулу (2.56) можно использовать при определении сил инерции, действующих на стержневые системы, равномерно вращающиеся вокруг какой-либо оси. Если вращение тела вокруг оси неравномерное, то кроме центробежных сил инерции будут возникать касательные (тангенциальные) силы инерции.

Силы инерции вызывают растяжение рассматриваемого стержня. Продольная сила N в сечении стержня, расположенном на расстоянии r от оси вращения, равна площади эпюры qи на участке от этого сечения до

рис.2.13, в.

2.6. Удар

Явление удара наблюдается во всех случаях, когда скорости соприкасающихся тел изменяются в течение очень малого промежутка времени. Напряжения и деформации при ударном нагружении, называемые динамическими, оказываются значительно большими, чем при статическом приложении той же нагрузки. Процесс удара жесткого груза об упругую стержневую систему протекает следующим образом. Сначала груз, движущийся с некоторой скоростью, входит в соприкосновение с системой, причем скорость его движения резко уменьшается. Упругая система приходит в движение. Однако вследствие инерции массы системы ее частицы начинают перемещаться не одновременно. Передний фронт волны движется по системе со скоростью распространения звука в данной среде. В стальных конструкциях волна деформации сжатия-растяжения распространяется со скоростью более 5000 м/с. После соприкосновения груз движется совместно с воспринимающей удар упругой системой, причем скорость их движения по мере роста деформаций и сил упругости системы постепенно уменьшается и становится равной нулю в момент наибольшей деформации. Затем начинается обратное движение, в дальнейшем система совершает колебательные движения. Расчет на прочность и жесткость при ударной нагрузке требует определения напряжений и деформаций системы, воспринимающей удар. При назначении динамических допускаемых напряжений следует учитывать изменение механических характеристик материала. Однако ввиду недостаточной изученности этого вопроса расчет на прочность при динамической нагрузке обычно ведут по статиче-

25

ским характеристикам, то есть условие прочности имеет следующий вид: σдmax ≤[σ ], где σдmax - максимальное расчетное напряжение при ударе.

При ударе возникают деформации двух типов: местные деформации в зоне контакта и общие деформации системы. В дальнейшем рассматриваются только общие деформации системы, и предполагается, что динамические напряжения не превосходят предел пропорциональности материала. Задача определения контактных напряжений в месте удара сложна и не может быть решена простыми методами.

Для приближенного определения напряжений и перемещений сечений в момент наибольшей деформации системы в практических расчетах обычно применяется энергетический метод. Этот метод решения применим в тех случаях, когда скорость ударяющего тела мала по сравнению со скоростью распространения фронта ударной волны, а время соударения значительно больше времени распространения этой волны по всей системе. Указанное ограничение дает основание считать, что при ударе деформации распространяются мгновенно по всей стержневой системе и все ее точки начинают движение одновременно.

Под ударной понимается всякая быстроизменяющаяся нагрузка. При ударном действии нагрузки различные точки системы получают некоторые скорости, так что системе придается кинетическая энергия, которая переходит в потенциальную энергию деформации конструкции, а также в другие виды энергии – прежде всего в тепловую.

Техническая (элементарная) теория удара основана на следующих допущениях:

1.Удар считается неупругим, то есть ударяющее тело продолжает двигаться вместе с ударяемой конструкцией, не отрываясь от нее, то есть имеют общие скорости после удара.

2.Ударяемая конструкция имеет лишь одну степень свободы, и вся масса конструкции сосредоточена в точке удара.

3.Рассеянием энергии в момент удара пренебрегаем, считая, что вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в потенциальную энергию деформации ударяемой конструкции.

4.Ударяемая конструкция считается идеально упругой. Это означает, что зависимость между динамическими усилиями и перемещениями, следует закону Гука.

Назовем отношение динамических и статических перемещений коэф-

факторы и реакции в конструкции; σд, σст - динамические и статические

напряжения.

Коэффициент динамичности при ударе по безмассовой упругой системе.

26

Вертикальный удар. Предположим, что груз весом Q падает с неко-

торой высоты h на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза. Упругую систему будем считать невесомой (рис. 2.14). Такой системой может быть стержень, балка, ферма и т. д.

Рассмотрим баланс энергии в момент наибольшей деформации системы при ударе. Сила тяжести груза в процессе падения (с учетом того, что величина веса груза Q в процессе удара не меняется) производит работу: A =Q (h +δд), где: δд - динамический прогиб системы (перемещение точ-

ки удара) в момент наибольшей деформации. Эта работа расходуется на приращение потенциальной энергии упругой деформации системы - U . Приращение потенциальной энергии определим как работу силы реакции упругой системы R , возникающей в месте удара. Так как мы считаем, что рассматриваемая система следует закону Гука, то сила R изменяется от нуля до максимального значения, равного Rд, по линейному закону, гра-

фик изменения представлен на рис. 2.15, а.

Q

R

h

ругой системы под действием силы веса Q . Второй корень с отрицатель-

ным знаком перед радикалом соответствует наибольшему отклонению точки удара при возвратном движении.

После нахождения kд , могут быть определены динамические напряжения и деформации системы, которые, очевидно, будут в kд раз больше

тех, которые имели бы место в системе при статическом приложении к ней груза Q . Заметим, что упругие свойства системы, как видно из форму-

лы (2.57) смягчают удар и, наоборот, сила удара тем больше, чем

больше жесткость системы.

27

Другой, более общий вид формулы для коэффициента динамичности можно получить, записывая работу веса груза при ударе как сумму: A =Qδд + Eк , где Eк - кинетическая энергия груза к моменту удара. Снова

приравнивая A и U , и решая полученное квадратное уравнение относительно kд , получим: kд = 1 + 1 + 2Eк / (Qδст ) (2.58). Выражая кинетическую энергию груза Eк = Qν2 / (2g ) через его скорость ν и ускорение свободного падения g , получим еще один вариант формулы коэффициента

динамичности при ударе: kд =1 + 1 +ν 2 / (gδст ) (2.59). Частный случай

ударного нагружения - внезапное приложение груза, когда h =0 . В этом случае kд = 2 и σд = 2σст, δд = 2δст, т. е. при внезапном приложении нагрузки напряжения и деформации системы в два раза больше, чем при статическом нагружении.

Все приведенные выше выражения коэффициента динамичности выведены для вертикального удара. Определим коэффициент динамичности для других случаев удара.

Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения.

Удар вследствие внезапной остановки движения возникает, например, в тросе лифта при внезапной остановке кабины или в балке двигающейся со скоростью ν , на которой закреплен груз Q (рис. 2.16, а).

а. б.

Рис.2.16

В этом случае в потенциальную энергию упругой деформации системы переходит кинетическая энергия груза: Eк = Qν2 / (2g ), и работа силы

дем как работу реакции R , возникающей в месте. В отличие от рассмотренного выше случая реакция изменяется линейно от начального значения Rст =Q в начале удара до максимального значения Rд , график изменения

представлен на рис.2. 16, б. Работа силы R равна площади заштрихован-

δд = kдδст, Rд = kдRст снова получаем квадратное уравнение относитель-

28

динамичности определится выражением: kд = ν2 / gδст = ν/ gδст

(2.61). (Здесь δст - такое перемещение точки удара упругой системы,

которое она получила бы в случае статического приложения по направлению удара силы веса груза - Q = mg ).

Скручивающий удар. Определение напряжений и деформаций при ударном кручении методически мало отличается от ударного растяжения (сжатия) или ударного изгиба. При ударном кручении применимы описанный выше подход для опре-

определения коэффициента динамичности при скручивающем ударе:

напряжения и динамический угол закручивания вала определяются из следующих уравнений:

29

Влияние массы ударяемой системы на коэффициент динамично-

сти. Учет массы ударяемой системы в технической теории удара всегда приводит к снижению динамических напряжений и деформаций те есть к снижению коэффициента динамичности. В момент удара груза по упругой системе, имеющей массу, система в точке удара и груз приобретают одинаковую скорость, которая по закону сохранения импульса будет меньше скорости груза до удара. При этом часть кинетической энергии груза расходуется на местную деформацию ударяемой системы и груза в месте удара.

Рассмотрим произвольную упругую систему, с закрепленной в месте удара сосредоточенной массой m . В момент соударения груз весом Q ,

имеющий до удара скорости ν и точка удара упругой системы начинают двигаться совместно со скоростью ν1 . Величина скорости ν1 определяется

из теоремы о сохранении количества движения: νQ / g = ν1(Q / g + m)ν1 =Qν/(Q + mg ) следовательно, она меньше скорости груза до удара.

При определении коэффициента динамичности можно пользоваться полученными ранее формулами (2.57-2.59), только вместо скорости груза до удара в них нужно подставить скорость ν1 . Например, пусть груз весом

Q , имеющий скорость ν наносит горизонтальный удар по упругой систе-

ме, на которой в месте удара закреплена масса с весом равным весу падающего груза - m = Q / g . В момент удара закрепленная масса и груз бу-

безмассовой системе.

В случае, когда необходимо учесть собственную распределенную массу упругой системы ее заменяют условной сосредоточенной массой, которую называют приведенной массой системы. Величина приведенной массы зависит от распределения масс по ударяемой системе и от точки приведения (удара). Условием, из которого определяется величина приведенной массы, является равенство кинетических энергий движения распределенной массы ударяемой системы и приведенной массы после удара.

2.7. Упругие колебания деформируемых систем

Теория колебаний представляет собой обширный раздел современной физики, особое значение имеет теория колебаний для прикладных задач, встречающихся в инженерной практике, в частности, в вопросах прочно-

30

сти машин и сооружений. Известны случаи, когда строительное сооружение, рассчитанное с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушалось под действием сравнительно небольших периодически действующих сил. Во многих случаях жесткая и весьма прочная конструкция оказывается непригодной при наличии переменных сил, в то время как такая же более легкая, и на первый взгляд менее прочная, конструкция воспринимает эти усилия совершенно безболезненно. Поэтому вопросы колебаний и, вообще, поведения упругих систем под действием переменных нагрузок требуют от конструктора особого внимания.

При изучении колебаний упругие системы принято различать, прежде всего, по числу степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы. Так, например, жесткая масса, связанная с пружиной (рис.2.19), имеет одну степень свободы, поскольку ее положение определяется только одной координатой y . Это верно лишь в той мере, в какой имеется возможность

31

ваемых возмущающими. Примером вынужденных колебаний является движение, которое совершает упругое основание, если на нем установлен не полностью сбалансированный двигатель. Сила инерции, передающаяся на упругое основание со стороны двигателя, является возмущающей силой. Промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями упругой системы от положения равновесия называется периодом колебаний и обозначается - T . Величина, ему обратная, называется частотой колебаний f =1/ T и представляет собой число колебаний в

единицу времени. Частота измеряется в герцах (Гц) – числом колебаний в одну секунду. В технике в большинстве случаев вместо частоты f

используется круговая частота ω , представляющая собой число колебаний в 2π секунд: ω = 2π / T или ω = 2π f . Амплитудой колебаний

называется наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.

Колебания упругих систем с одной степенью свободы. При состав-

лении уравнений движения будем исходить из принципа Д’Аламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены уравнения статики, если в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная против ускорения. Этот формальный прием дает особенно ощутимые преимущества при составлении уравнений движения для систем

снесколькими степенями свободы.

Втаблице 2.1, а также на рис.2.21-2.23 представлены основные характеристики колебаний механических систем с одной степенью свободы.

При этом рассматриваются свободные колебания (рис.2.21), свободные колебания с линейным затуханием (рис.2.22) и вынужденные колебания

(рис.2.23). На указанных рисунках действуют: сила упругости растянутой пружины – Fупр = cy , вес груза – P = mg , сила сопротивления, пропорцио-

нальная первой степени скорости движения – Fсопр = μ y , сила инерции – Fин = my′′, возмущающая сила, изменяющаяся по периодическому закону

– Fвозм = Hαsin( pt) .

Во всех трех случаях колебательного движения координата y отсчи-

тывается вниз от положения, соответствующего ненапряженной пружине (без груза). При этом предполагается, что такое же положительное направление имеют скорость и ускорение. Поэтому сила сопротивления (рис.2.21- 2.23) и сила инерции направлены вверх. Во всех случаях ym представляет

собой статическое перемещение, вызванное приложенной массой m к упругой системе. В положении статического равновесия сила упругости растянутой на величину ym пружины уравновешивается весом: cym = mg

(2.62).

Уравнение (2.62) позволяет с учетом преобразований дифференциального уравнения свободных колебаний, выполненных в таблице 2.1, получить уравнение для определения круговой частоты собственных колебаний

32

упругой системы: ω= с/ m = g / ym (2.63), где c - жесткость упругой

системы.

Дифференциальные уравнения в таблице 2.1 составлены для исходной системы координата путем проекции всех сил на вертикальную ось. С целью упрощения решения далее выполнено преобразование системы координат путем сдвига вниз на величину ym , то есть вводится новая перемен-

ная z = y − ym . Решения дифференциальных уравнений, представленные в

таблице 2.1, иллюстрируются рисунком 2.24 для свободных колебаний и рисунком 2.25 для свободных колебаний с учетом сил сопротивления.

Полученные в таблице 2.1 решения позволяют определить амплитуды и сдвиг фаз колебаний путем задания начальных условий.

33

чается от ω, то есть от частоты собственных колебаний ω , поскольку величина n2 (2n = μ / m) практически всегда мала по сравнению с ω . Через интервал времени T = 1/ (2πω1 ) амплитуда колебаний уменьшается в отношении - e−nt / (e−n(t+T ) )= enT .

Это означает, что отношение двух последующих амплитуд остается величиной постоянной, не зависящей от времени.

При составлении дифференциального уравнения вынужденных колебаний вводится также внешняя возмущающая сила (рис.2.23), изменяющаяся по гармоническому закону с амплитудой Hα и круговой частотой -

p . Полное решение дифференциального уравнения вынужденных колеба-

ний, как видно из таблицы 2.1, складывается из решения однородного уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью. Решение однородного уравнения дает закон движения при собственных колебаниях с затуханием. Частное решение представлено в таблице 2.1. Из полного решения видно, что система участвует в двух колебательных движениях. Первое представляет собой собственное колебательное движение, амплитуда и фаза которого определяются начальными условиями. Эти колебания являются затухающими и по истечении некоторого времени практически исчезают. Второе колебательное движение происходит с частотой возмущающей силы p и сдвигом фаз ψ . Оно не затухает, а

вает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей силы.

Этот коэффициент называется коэффициентом усиления (динамич-

ности) колебаний. Безразмерный коэффициент λ в уравнении (2.65)

представляет собой коэффициент усиления колебаний при резонансе, так

35

как β = λ при p =ω . Коэффициент β зависит от двух величин: от отношения частот p / ω и параметра λ =ω / 2n , то есть от параметра затухания

колебаний. На рис.2.26 показаны кривые зависимости коэффициента усиления колебаний β от отношения частот для нескольких значений λ . Интересно отметить, что при отношении p / ω >>1 коэффициент динамичности β становится меньше единицы, то есть напряжения и смещения упругой системы меньше чем при статическом действии максимальной возмущающей силы Hα .

При λ = ∞, то есть при n =0 (при отсутствии затухания), величина β в случае совпадения частот собственных и вынужденных колебаний обращается в бесконечность. Это означает, что амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. При наличии затухания величина β ос-

тается ограниченной, но в зоне совпадения частот имеет максимальное значение.

Явление повышения амплитуды при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы носит название резонанса, а само совпадение частот называется условием резонанса.

При приложении возмущающих сил амплитуда вынужденных колебаний достигает своего значения не сразу.

Требуется некоторое время, чтобы «раскачать» систему. В связи с этим кратковременное состояние резонанса для сооружений не представляет, опасности, если амплитуда не успевает достичь больших значений. Поэтому при разгоне несбалансированного двигателя допускается проход через резонансную частоту вращения необходимо только, чтобы этот проход был по возможности кратковременным.

В практике инженерных расчетов на динамическую прочность вопросы резонанса по своей значимости занимают одно из первых мест. Дело в том, что в большинстве случаев законы изменения возмущающих сил носят периодический характер. Так, например, несбалансированные подвижные части работающего двигателя создают периодически изменяющиеся силы. Поезд, идущий по пути с постоянной скоростью, получает периодические толчки на стыках рельсов. Детали приборов, установленных на вибрирующем основании (на самолете, автомашине), получают в процессе работы толчки с частотой колеблющегося основания. Во всех этих случаях возникает вопрос о том, насколько опасны возмущающие силы для работы упругой системы и не приведут ли они к ее чрезмерной раскачке и преждевременному разрушению.

Такая задача решается, прежде всего, путем сопоставления частот собственных колебаний и возмущающей силы. В случае, если эти частоты сильно отличаются друг от друга, можно быть уверенным в том, что явление резонанса не возникнет и условия работы для упругих элементов являются благоприятными. При этом представляется возможным определить амплитуду вынужденных колебаний и максимальное значение действую-

36

щих напряжений цикла. Если коэффициент усиления колебаний β найден, максимальное значение цикла переменных напряжений определяется по следующей формуле - σmax =σm +σa =σm +σст(Hα ) β (2.66), где: σa =σст(Hα ) β - амплитуда цикла переменных напряжений; σст(Hα ) -

напряжение, которое возникло бы в упругой системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы Hα ; σm - напряже-

ние, возникающее в упругой системе под действием статически приложенного груза P = mg (среднее напряжение цикла).

Аналогично определяется максимальное перемещение в упругой сис-

теме - ymax = ym + ya = ym + yст(Hα ) β (2.67), где: ya = yст(Hα ) β - ам-

плитуда смещения; yст(Hα ) - смещение, которое возникло бы в упругой

системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы Hα ; ym - смещение, возникающее в упругой системе под

действием статически приложенного веса груза.

Условие прочности при вынужденных колебаниях имеет следую-

щий вид: σmax =σm +σст(Ha ) β ≤[σ] (2.68), где [σ] - основное допускаемое напряжение материала.

В случае, когда сопоставление частот p и ω указывает на опасность

резонанса, обычно путем конструктивных изменений добиваются изменения той или иной частоты. При этом наиболее целесообразным будет изменение частот в сторону увеличения отношения p / ω с тем, чтобы до-

биться наиболее заметного снижения коэффициента β (см. рис.2.26). Проще всего этого достичь смягчением подвески, то есть уменьшением жесткости упругих элементов колебательной системы. Если нет возможности варьировать частотами, то при возникновении опасности резонанса практикуется демпфирование системы, то есть установка специальных устройств, повышающих рассеяние энергии при колебаниях.

2.8. Расчет на прочность при циклически меняющихся во времени напряжениях

Явление усталости. В процессе эксплуатации различного рода конструкций и машин напряжения во многих их деталях многократно изменяются как по величине, так и по знаку.

Действию переменных напряжений подвержены силовой набор и обшивка крыла, оперения и фюзеляжа самолетов, лопасти винтов самолетов и вертолетов, барабаны и покрышки колес транспортных средства, вагонные оси и валки прокатных станов и многие другие детали машин.

Опыт показывает, что детали, подвергнутые воздействию переменных напряжений, разрушаются при напряжениях, значительно меньших предела прочности, а иногда и предела пропорциональности материала.

37

Явление прогрессирующего разрушения под действием переменных напряжении носит название усталости материала.

Термин усталость не отражает сущности явления, но он был введен еще в прошлом веке и является общепринятым.

В настоящее время в связи с увеличением скоростей движения летательных аппаратов и деталей машин и связанным с этим возрастанием частот изменения напряжений при одновременном росте их уровня (вследствие стремления уменьшить массу конструкции) именно усталость в подавляющем большинстве случаев является причиной разрушения.

Механизм усталостного разрушения. Если уровень переменных на-

пряжений превышает некоторый предел, то в материале детали происходит процесс постепенного накопления повреждений, который приводит к образованию субмикроскопических трещин. По мере наработки длина этих трещин увеличивается, затем они объединяются, образуя первую микроскопическую трещину, под которой понимается трещина протяженностью 0.1-0.5 мм. У корня этой трещины возникает местное увеличение напряжений, которое облегчает ее дальнейшее развитие. Трещина, постепенно развиваясь и ослабляя сечение, вызывает в некоторый момент времени внезапное разрушение детали, которое нередко связано с авариями и тяжелыми последствиями.

Указанный процесс постепенного накопления повреждений в ма-

териале под действием переменных напряжений и деформаций, приводящий к изменению свойств, образованию трещин и разрушению, называется усталостью.

Развитие трещин идет особенно интенсивно, если напряжения изменяются не только по величине, но и по знаку.

Механизм усталостного разрушения чрезвычайно сложен, и многие его детали остаются пока неясными. Реальный металл состоит из большого числа весьма малых по размерам и связанных между собой кристаллов, между которыми имеются поры и неметаллические включения. Кристаллы, как правило, обладают анизотропией.

При действии внешней нагрузки возникает неоднородная напряженность различных зерен, поэтому при переменных напряжениях, даже не превышающих среднего значения предела пропорциональности, в отдельных неблагоприятно ориентированных зернах начинается циклическая пластическая деформация.

Образование первых следов сдвига начинается, как правило, на поверхности детали вследствие облегченных условий деформирования зерен в этой зоне, наличия концентрации напряжений от микронеровностей на поверхности. Кроме этого на поверхности детали обычно действуют наибольшие нормальные и касательные напряжения.

Поверхность усталостного излома детали имеет две совершенно различные зоны (рис.2.27). Одна из них - зона распространения трещины (А) в результате взаимного трения и наклепа от повторяющегося нажатия по-

38

верхностей трещины друг на друга имеет гладкую, притертую поверхность.

Другая зона (Б) даже в случае пластичного материала имеет крупнозернистую структуру, такую же, как и поверхность разрушения образца из чугуна, при одноосном статическом

растяжении.

Именно поэтому вначале разрушение при переменных напряжениях приписывали «перерождению» или «кристаллизации» (усталости) материала, делающей его хрупким. Дальнейшие исследования показали, что механические свойства и микроструктура материала около места усталостного разрушения такие же, как и до нагружения детали.

Хрупкий характер разрушения, по виду очень похожий на усталостный, в крупнозернистой зоне, получается при статическом изгибе образца из пластичного материала с острым надрезом. В вершине надреза возникает объемное напряженное состояние, и поэтому развитие пластических деформаций здесь затруднено. Роль такого надреза при переменных напряжениях выполняет первоначальная трещина. Таким образом, по-видимому, одной из главных причин хрупкого характера разрушения в зоне (Б) является трехосное напряженное состояние материала, возникающее на границе трещины.

Усталостное разрушение происходит, как правило, без заметной пластической деформации детали.

Законченной теорией усталостного разрушения еще нет. В настоящее время интенсивно развиваются вероятностные методы расчетов на усталость, как более перспективные и эффективные.

Основные понятия и определения. Характер изменения напряжений во времени отличается большим разнообразием. Часто конструкции испытывают действие нагрузок, случайным образом изменяющихся во времени, или, как говорят, представляющих собой случайный процесс.

В то же время можно привести много примеров, когда напряжения в деталях машин и даже конструкций представляют собой периодическую функцию времени. Напряжения в детали могут изменяться по периодическому закону в некоторых случаях и при постоянной нагрузке. Например, напряжение изгиба в точке A поперечного сечения вала, нагруженного постоянной по величине и сохраняющей свое направление силой P (рис.2.28), за время одного поворота успевает из растягивающего превратиться в сжимающее и снова в растягивающее.

39

Испытания образцов на усталость проводятся на специальных машинах. Наиболее простыми являются машины, предназначенные для испытаний на переменный изгиб с вращением при симметричном цикле изменения напряжений. Схема такой машины, в которой образец работает как консольная балка, представлена на рис.2.28.

При испытаниях на переменное растяжение (сжатие) и переменное кручение применяются машины более сложной конструкции. Обычно эти машины приспособлены для испытаний при асимметричном цикле.

Рассмотрим случаи, когда напряжения в детали изменяются во времени периодически, не затрагивая вопросы усталостной прочности при нерегулярном нагружении. Однократная смена напряжений, т. е. совокупность последовательных значений напряжений за один период, называется циклом. Если максимальное значение напряжений (σmax или

τmax ) и минимальное значение напряжений (σmin или τmin ) численно

равны между собой, но противоположны по знаку, то цикл изменения напряжения называется симметричным (рис.2. 29, а). Если же максимальные и минимальные напряжения не равны между собой, то цикл называется асимметричным (рис.2.29, б, в, г).

Степень асимметрии цикла характеризуется коэффициентом асимметрии: R =σmin /σmax (2.69). Цикл, минимальное (максимальное) напря-

жение которого равно нулю, называется отнулевым (пульсационным) и показан на рис.2.29, б, в.

Как показывает опыт, форма цикла переменной нагрузки незначительно влияет на сопротивление усталостному разрушению.

Коэффициент асимметрии симметричного цикла R = −1 , а для отнулевого R = 0 .

Величина:

σa = (σmax −σmin )/ 2

(2.70) - называется ам-

плитудой, а

σm = (σmax +σmin )/ 2

(2.71) - средним напряжением цикла.

Всякий асимметричный цикл можно представить как результат наложения симметричного цикла на постоянное среднее напряжение.

Опыт показывает, что разрушение материала при переменных напряжениях наступает не сразу, а после многократного изменения нагрузки, причем число циклов, при

40

перемен нагрузки выдержит материал. Поэтому наиболее опасным является симметричный цикл.

Экспериментальным путем также установлено, что для многих материалов существует такое значение максимального напряжения, зависящее от степени асимметрии цикла, при котором материал выдерживает неограниченное число перемен нагрузки (циклов).

Наибольшее по абсолютному значению напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения за бесконечно большое число циклов, называется пределом неограниченной выносливости - σR или

(σR )∞ .

Пределом ограниченной выносливости называется максимальное напряжение, соответствующее заданной (базовой) долговечности -(σR )Nб.

В качестве базовой долговечности обычно принимают Nб = 106 ; 107 или

5 107 циклов. Пределы неограниченной выносливости обозначаются символами σR или τR с указанием в индексе значения коэффициента асим-

метрии цикла, для которого эти величины определялись. Так, σ−1 и τ−1

представляют собой пределы выносливости при симметричном цикле, а σ0 и τ0 - при отнулевом цикле.

Определение предела выносливости. Предел выносливости материа-

ла определяется путем испытания идентичных образцов при различных значениях σmax , но при неизменном коэффициенте асимметрии R и

регистрации количества циклов, при котором происходит разрушение каждого образца.

Для этой цели используется партия (не менее 10-30), образцов обычно круглого сечения диаметром 7-10 мм. Во избежание концентрации напряжений образцам придается плавная форма, а поверхность тщательно шлифуется или полируется (рис.2.30).

41

Предел выносливости зависит от размеров поперечного сечения образца. Поэтому всегда указывается, на образцах, какого диаметра определялась эта усталостная характеристика. Первый образец испытываемой партии нагружается так, чтобы максимальные напряжения превышали предел выносливости при данном коэффициенте асимметрии цикла, и по счетчику на усталостной машине, устанавливается количество циклов, которое выдержал образец перед разрушением.

циенте асимметрии цикла создается максимальное напряжение, меньшее, чем в предыдущем, а также регистрируется число N циклов, при котором эти образцы разрушаются.

Результаты испытаний представляются графически в виде кривой усталости. По оси ординат откладывается σmax - максимальное напряжение

цикла, при котором испытывался образец, а по оси абсцисс - число N циклов, которое выдержал образец перед разрушением.

Обычно на каждом уровне напряжений σmax испытывается несколько

образцов, и по результатам испытаний определяется среднее значение разрушающего числа циклов. Именно это значение N и откладывается по оси абсцисс при построении кривых усталости. Различные виды кривых усталости приведены на рисунках 2.31-2.32.

Эксперименты показывают, что кривая усталости образцов из большинства конструкционных сталей и легких (алюминиевых, магниевых, титановых и др.) сплавов, асимптотически приближается к горизонтальной прямой. Отрезок, отсекаемый этой прямой на оси ординат, определяет предел неограниченной выносливости материала σR или τR при данном

коэффициенте асимметрии цикла R (см. рис.2.31).

Часто кривые усталости строят в полулогарифмических или двойных логарифмических координатах, откладывая по оси абсцисс логарифм числа

42

представленный на рис.2.32. Она состоит из двух прямых, причем вторая прямая почти горизонтальна.

Для сталей предел ограниченной выносливости, определенный на базе Nб =107 циклов можно принять за предел выносливости, так как если

стальной образец выдержал 107 циклов, то он может выдержать практически неограниченное число циклов. Для цветных металлов за предел выносливости принимается ограниченный предел, определенный на базе от

5 107 до 108 циклов.

При оценке прочности и ресурса элементов конструкций необходимо располагать уравнением кривой усталости. Применительно к сплавам на железной основе хорошее соответствие экспериментальным данным при симметричном цикле нагружения в широком диапазоне долговечности

имеет уравнение Стромейра: σa =σ-1 + a (N + B)−α (2.72) или

lg(σa −σ-1) = lga −α lg(N + B) (2.73), где σ-1 , a , B , α - параметры.

Значение параметра B для многих материалов лежит в пределах от 0 до 5·104 циклов и его не учитывают, если минимальная долговечность

образцов превышает 105 циклов. В этом случае: σa =σ-1 + a (N )−α (2.74)

или lg(σa −σ-1) = lga −α lg(N ) (2.75).

Для аналитического описания левой ветви кривой усталости для указанных материалов используют степенное уравнение: σam N = d (2.76)

Если испытания на усталость проводят при асимметричном цикле напряжений с постоянным коэффициентом асимметрии R (при изменяющемся среднем значении напряжения цикла σm ), то в формулах (2.72-2.77)

вместо σa подставляют максимальное напряжение цикла σmax и вместо предела неограниченной выносливости при симметричном цикле σ−1 под-

ставляют предел неограниченной выносливости при асимметричном цикле σR . В случае испытаний при σm = const в указанных формулах вместо σ−1

подставляют предельную амплитуду цикла σa′ , соответствующую неогра-

ниченной долговечности.

Результаты экспериментальных исследований показали, что пределы выносливости одного и того же материала при растяжении и кручении меньше предела выносливости при изгибе. Например, при симметричном цикле предел выносливости при растяжении и кручении соответственно: (σ−1 )р = (0.7...0.8)σ-1 ; τ-1 = (0.4...0.7)σ-1 (2.78), где σ-1 - предел выносли-

вости при изгибе. В справочной литературе обычно приводятся значения σ-1 , полученные по результатам испытаний на переменный изгиб.

43

44

Влияние концентрации напряжений и масштабного фактора на сопротивление усталостному разрушению. В отличие от случая посто-

янных во времени напряжений при переменных нагрузках концентрация напряжений вызывает снижение предела выносливости деталей, выполненных не только из хрупких, но и из пластичных материалов.

Влияние концентрации напряжений на предел выносливости зависит от чувствительности материала к концентрации напряжений и учитывается в расчетах с помощью так называемого эффективного коэффициента концентрации.

Эффективным коэффициентом концентрации называется отношение предела выносливости σ-1 образца без концентратора напряжений к пре-

делу выносливости (σ-1)R образца с концентратором напряжений, выпол-

ненного из того же материала и имеющего такие же поперечные размеры рабочей части, что и первый образец.

Эффективные коэффициенты концентрации для нормальных и касательных напряжений обозначаются соответственно: Kσ =σ-1 /(σ-1)к (2.79);

Kτ =τ-1 /(τ-1)к (2.80). Эффективные коэффициенты концентрации напряжений больше единицы и обычно меньше теоретических коэффициентов

циенты чувствительности материала к концентрации напряжений.

45

Чувствительность материала к концентрации напряжений зависит, прежде всего, от свойств материала и возрастает с повышением предела прочности. Поэтому применение высокопрочных материалов при переменных нагрузках не всегда является целесообразным. Ориентировочные значения qσ для некоторых материалов: qσ =0.2...0.4 – для сталей низкой

прочности; qσ = 0.4...0.6 – для сталей средней прочности; qσ =0.6...0.8 – для сталей высокой прочности; qσ =0.7...0.9 – для алюминиевых сплавов; qσ =0.9...1.0 – для титановых сплавов.

Как показывает опыт, коэффициент чувствительности зависит также от размеров детали и ее формы. Поэтому в практических расчетах целесообразнее пользоваться эффективными коэффициентами, найденными экспериментальным путем. В справочной литературе имеются графики коэффициентов концентрации напряжений для многих видов концентраторов напряжений.

Необходимо отметить, что концентрация напряжений может быть обусловлена не только очертанием деталей, но и наличием внутренней неоднородности и трещин. Например, чешуйки графита в чугуне являются источниками весьма высокой концентрации напряжений, которая перекрывает эффект внешних концентраторов напряжений.

Предел выносливости зависит также и от градиента напряжений. Градиент напряжений характеризует скорость убывания напряжений по мере удаления от места концентрации напряжений. Чем выше градиент, тем в меньшем объеме материала концентрируются высокие напряжения, тем меньше зерен материала приходится на этот объем и тем меньше вероятность образования здесь усталостной трещины.

Поэтому чувствительность материала к концентрации напряжений несколько уменьшается с увеличением градиента напряжений. При изгибе образцов максимальный градиент напряжений G = 2σmax / d , где σmax -

максимальное напряжение изгиба d – диаметр образца, при центральном растяжении-сжатии градиент напряжений равен нулю. Этим частично объясняются меньшие значения пределов выносливости при центральном растяжении - сжатии, чем при изгибе образцов из одного и того же материала.

С увеличением абсолютных размеров поперечных сечений детали предел выносливости снижается.

Масштабный эффект объясняется металлургическим, технологическим и статистическим факторами. Металлургический фактор связан со снижением механических свойств металла с ростом размеров отливки или поковки, так как при этом возрастает неоднородность металла, ухудшается прокаливаемость при термообработке и т.д. Технологический фактор обусловлен образованием остаточных напряжений в поверхностных слоях при механической обработке детали, которые по-разному влияют на предел выносливости деталей больших и малых размеров. Статистический фак-

46

εσ = (σ-1)D /σ-1 (2.83).

Необходимо иметь в виду, что если эффективные коэффициенты концентрации взяты из графиков, в которых уже учтен масштабный фактор, вносить поправку на размеры детали не требуется.

Влияние состояния поверхности на сопротивление усталостному разрушению. На поверхности детали почти всегда имеются риски от обработки резцом, мелкие царапины, следы коррозии и т. д., которые являются концентраторами напряжений. Дефекты поверхности приводят к снижению сопротивления усталости детали. Опытами установлено, что предел выносливости образцов с полированной поверхностью выше, чем у шлифованных, а у шлифованных выше, чем у обработанных резцом, и т. д. Влияние чистоты поверхности на предел выносливости оценивается коэффициентом KF , равным отношению предела выносливости образца с за-

данной обработкой поверхности к пределу выносливости такого же образ-

сти материала для различных видов обработки поверхности.

Применение некоторых технологических методов упрочнения поверхности детали при правильном их выполнении приводит к значительному повышению ее сопротивления усталости.

К таким методам относятся:

а) наклеп поверхностного слоя путем обдувки дробью, накатки роликом и т. п.; б) цементация, азотирование и цианирование поверхностного слоя; в) закалка токами высокой частоты.

Влияние технологических факторов на усталостную прочность оценивается коэффициентом поверхностного упрочнения KV .

Положительное влияние технологической обработки поверхностного слоя детали на сопротивление усталости связано, в первую очередь, с созданием в этом слое остаточных сжимающих напряжений, наличие которых затрудняет развитие усталостных трещин. При закалке токами высокой частоты и азотировании также создаются значительные сжимающие напряжения в поверхностном слое детали.

47

В то же время такие часто применяемые покрытия стальных деталей, как никелирование и хромирование, заметно снижают предел выносливости детали, хотя и не влияют на их статическую прочность, причем снижение сопротивления усталости тем больше, чем толще слой хрома или никеля. Объясняется это значительными остаточными растягивающими напряжениями в поверхностном слое при хромировании и никелировании. Аналогичное явление имеет место и при покрытии поверхности стальной детали слоем меди.

Влияние внешней среды и коррозии трения на сопротивление ус-

талостному разрушению. Все металлы, находясь в контакте с газообразной или жидкой средой, подвергаются коррозии. На поверхности детали появляются язвинки коррозии, являющиеся причиной высокой концентрации напряжения. Особенно интенсивно развивается коррозия при действии растягивающих напряжений. Другой вид коррозии - коррозия под напряжением проявляется в виде межкристаллических и внутрикристаллических трещин почти без всяких признаков образования продуктов коррозии.

При переменных нагрузках коррозия существенно снижает сопротивление усталости, особенно легких сплавов. В сталях снижение предела выносливости от коррозии тем больше, чем более высокопрочна сталь.

Количественные характеристики снижения выносливости зависят от агрессивности внешней среды. Например, морская вода больше снижает долговечность, чем пресная, и т. п.

Влияние коррозионной среды учитывается в расчетах коэффициентом: β = (σ-1)кор /σ-1 (2.85), где в числителе стоит предел выносливости

при наличии агрессивной среды. Значения коэффициента β приводятся в справочной литературе.

Средством борьбы с влиянием внешней среды являются различного рода антикоррозионные покрытия.

Коррозия трения возникает в местах контакта деталей, подвергающихся циклическому нагружению, например в заклепочных и болтовых соединениях листов обшивок самолетов. Коррозия трения возникает и в сварных соединениях из-за упругих перемещений соединяемых деталей друг относительно друга по плоскостям их контакта.

Трение в местах контакта деталей даже в случае чрезвычайно малых относительных перемещений сопровождается разрушением поверхности соприкасающихся частей, выпадением окислившихся частей материала и постепенным образованием и развитием усталостных трещин.

Чтобы коррозия трения проявила себя, необходима наработка соединением достаточно большого количества (порядка миллиона) циклов. При больших значениях максимальных напряжений, соответствующих левой части кривой усталости, разрушение наступает после относительно небольшого числа циклов, и коррозия трения не ускоряет этот процесс.

48

Средства борьбы с коррозией трения - различного рода покрытия и упрочнение поверхностей трения, постановка прокладок между трущимися поверхностями, окраска этих поверхностей и т. д.

Суммарный коэффициент, учитывающий влияние концентрации напряжений, масштабного и технологических факторов определяемый из уравнения: