6.Решение должно сопровождаться краткими, последовательными, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны только в буквенных выражениях. Надо избегать многословных пояснений и пересказа учебника, пособий и примеров выполнения задач; студент должен знать, что язык техники — формула и чертеж. При пользовании формулами или данными, отсутствующими в рекомендованных учебниках, необходимо кратко и точно указать источник (автора, название источника, издание, страницу, номер формулы).

7.Окончательный ответ ко всем задачам контрольных работ, дается в цифрах. Однако решение задачи по возможности должно вестись в аналитической форме и лишь окончательный ответ получается подстановкой цифровых данных из условия задачи.

8.По получении из института контрольной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и выполнить все сделанные ему указания, после чего представить работу на повторную проверку в указанный рецензентом срок.

2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМАМ КУРСА

2.1. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил.

Статически неопределимыми стержневыми системами называ-

ются такие системы, в которых количество неизвестных превышает число уравнений равновесия. Неизвестными могут являться как внутренние силовые факторы в поперечных сечениях, так и внешние силы - реакции связей (опор).

Степень статической неопределимости. Степенью статической не-

определимости системы - s называется разность между количеством неизвестных - y и числом уравнений равновесия - u : s = y − u .

Лишние связи. Числом лишних связей - nл называется количество

связей наложенных сверх необходимых. Необходимыми называются связи обеспечивающие неподвижность (неизменяемость) системы как твердого тела. Лишние связи могут быть внутренними ограничивающими взаимные относительные смещения точек стержневой системы и внешними ограничивающими абсолютные смещения точек стержневой системы относительно неподвижной системы координат. Общее число лишних связей

равно сумме внутренних лишних - niл и внешних лишних - neл связей:

nл = niл + neл. Примеры статически неопределимых стержневых систем по-

казаны на рис.2.1.

Лишние внутренние связи в стержневых системах появляются только при наличии замкнутого контура. Плоский жесткий (без шарниров) замкнутый контур имеет 3 лишние внутренние связи.

5

s=niл+neл=0+2=2

s=niл+neл=3+3=6 s=niл+neл=6+18=24

Рис.2.1

Пространственный жесткий замкнутый контур дает 6 лишних внутренних связей. Одиночный шарнир, врезанный в плоский замкнутый контур, устраняет одну лишнюю внутреннюю связь. Одиночным или простым шарни-

ром называется шарнир, соединяющий два стержня. Шарнир, соединяющий более двух стержней, называется кратным (соединяющий 3 стержня

– двукратным, 4 стержня – трехкратным и т.д.) и эквивалентен числу шарниров равному его кратности. В плоской раме на рис.2.1 правый (верхний) шарнир является простым, а левый (нижний) шарнир является двукратным.

Цилиндрический шарнир, врезанный в пространственный контур, также устраняет одну лишнюю внутреннюю связь, сферический шарнир устраняет 3 лишние внутренние связи.

Важным для анализа статически неопределимых систем является сле-

дующее обстоятельство: степень статической неопределимости стержневой системы равна количеству лишних связей: s = nл.

Методы раскрытия статической неопределимости. Ранее при рассмотрении стержневых систем работающих на растяжение-сжатие рассматривался общий порядок раскрытия статической неопределимости. Однако, более удобными в случае произвольно нагруженных стержневых систем являются формализованные методы в которых дополнительные условия для раскрытия статической неопределимости записаны в виде канонических уравнений. Наибольшее распространение получили два таких метода: метод сил, метод перемещений.

Метод сил. Порядок раскрытия статической неопределимости линей- но-упругих стержневых систем по методу сил состоит из нескольких обязательных этапов:

1.Из исходной s - раз статически неопределимой системы формируется основная система. Основная система получается из исходной путем отбрасывания s лишних связей, следовательно, является статически определимой.

Как правило, из исходной, можно получить несколько различных основных систем отбрасывая разные лишние связи. Однако в любом случае основная система должна быть геометрически неизменяемой (то есть неподвижной).

6

2.Из основной системы формируют эквивалентную систему (эквива-

лентную в том смысле, что она имеет такие же деформации, следовательно, и внутренние силы, как и исходная система). Эквивалентная система получается добавлением сил X1 , X 2 ,...X S по направлению от-

брошенных лишних связей. Силы X1 , X 2 ,...X S называются лишними не-

известными и являются по существу реакциями отброшенных связей. Пример статически неопределимой плоской рамы со степенью статической

неопределимости - s =7 (лишних внутренних связей - niл = 5 , лишних

внешних связей - neл = 2 ) приведен на рис.2.2. Лишние неизвестные, приложенные вместо отброшенных внутренних лишних связей, всегда при-

Рис.2.2

кладываются попарно (см. рис.2.2, неизвестные X1, X2, X3, X4 , X5 ), так

как являются силами взаимодействия двух частей рассматриваемой системы.

3.Величины лишних неизвестных X1 , X 2 ,...X S определяются из усло-

вия равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей: 1 =0, 2 =0... S =0 . Используя принцип суперпозиции нагрузок и за-

кон Гука можно записать эти условия в виде системы канонических уравнений метода сил:

7

где: δi, j - перемещение по направлению i - той отброшенной связи вызван-

решения методы линейной алгебры (в т.ч. и с помощью ЭВМ). На основании теоремы Бетти матрица коэффициентов системы канонических уравнений симметрична, то есть: δi, j =δ j,i , что позволяет существенно упро-

стить решение задачи в случае систем с большой степенью статической неопределимости.

Коэффициенты системы канонических уравнений можно находить любым способом, но обычно используется энергетический метод в виде интеграла Мора.

После того как определены неизвестные X1 , X 2 ,...X S , вместо исход-

ной статически неопределимой системы можно рассматривать статически определимую эквивалентную систему, перемещения и напряжения, в которой находятся известными методами.

2.2. Напряженное и деформированное состояние в точке тела

Определение напряжений на наклонных площадках. Рассмотрим произвольно нагруженное тело. Выбрав произвольную точку внутри него, выделим вокруг него бесконечно маленький (элементарный) объем. Для определенности примем элементарный объем в виде кубика с гранями параллельными координатным плоскостям произвольной декартовой системы координат (см. рис.2.3). Для определения напряжений на произвольной наклонной площадке проведенной через рассматриваемую точку введем следующую индексацию координатных осей: x – 1, y – 2, z - 3, то есть

индексы, имеющие цифровую индексацию, соответствуют указанным координатным осям. Так, например, вектор направляющих косинусов внешней нормали n к наклонной площадке abc и матрица компонент напряженного состояния имеют следующий вид (см. рис.2.3):

8

Диагональные элементы указанной матрицы представляют собой нормальные напряжения, а не диагональные элементы – касательные напряжения. Тогда компоненты вектора полного напряжения p на наклонной

площадке abc по координатным осям определятся из следующего уравне-

ния: p = у n (2.3).

В развернутой а затем и обычной форме записи, имеем:

Нормальное напряжение на наклонной площадке abc определится проекцией вектора полного напряжения на нормаль из следующего урав-

нения: σα = pT n (2.6), где pT - транспонированный вектор (2.4). Более

подробно уравнение (2.6) можно представить в следующем виде (с учетом закона парности касательных напряжений):

σα =σ11 n12 +σ22 n22 +σ33 n32 + 2(σ12 n1 n2 +σ13 n1 n3 +σ23 n2 n3 )

(2.6′)

Величины полного и касательного напряжения на наклонной площад-

граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными напряжениями, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками. Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки (рис.2.4.).

учетом знака) обозначается s3 (σ3 ). Различные виды напряженного со-

стояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три главных напряжения, то на-

9

пряженное состояние называется трехосным или объемным (рис.2.4). Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется двухосным или плоским. Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линей-

ным.

Для определения главных напряжений предположим, что площадка abc (рис.2.3) является главной площадкой. Тогда на ней будут действовать только нормальное напряжение, то есть полное напряжение p на этой

площадке будет одним из главных напряжения s . В этом случае компоненты вектора полного напряжения p1 , p2 , p3 можно рассматривать как

p1 = s n1 , p2 = s n2 , p3 = s n3 . Подставив это условие в уравнение (2.4),

(σ11 − s ) n1 +σ12 n2 +σ13 n3 =0 получим: σ21 n1 +(σ22 − s ) n2 +σ23 n3 =0 (2.7).

σ31 n1 +σ32 n2 +(σ33 − s ) n3 =0

Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно направляющих косинусов. В силу известного со-

отношения: n12 + n22 + n32 = 1 (2.8), направляющие косинусы не могут одно-

временно иметь нулевые значения. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов системы (2.7) должен быть равен нулю:

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение третьего

зываются инвариантами напряженного состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат. Можно доказать существование трех действительных корней уравнения (2.10). На основании этого можно считать, что в каждой точке тела, независимо от его формы и размеров, места приложения, вида и характера нагрузок, существует не более трех взаимно ортогональных главных напряжения.

Для определения положения главных площадок необходимо знать направляющие косинусы нормали к этой площадке. Для их определения следует воспользоваться системой уравнений (2.7). Однако равенство нулю определителя этой системы указывает на то, что не все уравнения системы являются линейно независимыми; одно из них есть следствие двух других. Чтобы сделать систему определенной, надо добавить к ней равенство (2.8).

10

После этого число независимых уравнений становится достаточным для однозначного определения направляющих косинусов.

σ z =τzx =τzy =0 . Приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках, получим квадратное уравнение, решение которого имеет следующий вид:

Эти два решения определяют напряжения на двух остальных главных площадках, параллельных оси z. Какому из найденных трех главных напряжений надо приписать соответствующие индексы, можно решить только после вычислений конкретных значений по формуле (2.15).

Для определения положения главных площадок, параллельных оси z решаем систему (2.7) относительно n1 :

Исключая s, получим: σ yx ( n12 − n22 ) + n1n2 (σ y −σ x ) =0 . Отсюда находится тангенс двойного угла, на который нужно повернуть ось x , чтобы она совпала с направлением нормали к первой главной площадке:

Обобщенный закон Гука для изотропного тела. Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения происходит продольная деформация. Одновременно, согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации. В каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две

11

поперечной деформации. Складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлении напряжений σx ,σ y ,σz :

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями устанавливается в пределах упругих деформаций законом Гука при сдвиге:

Равенства (2.18), (2.19) являются выражением закона Гука в наиболее общем для изотропного тела случае – при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Выражение закона Гука при плоском и линейном напряженном или деформированном состояниях можно получить из этих уравнений путем исключения из них напряжений или деформаций равных нулю.

С помощью уравнений (2.18) можно вычислить объем элементарного параллелепипеда после деформации:

где V0 = dxdydz - объем до деформации. Пренебрегая произведениями де-

деформаций по формулам (2.18), получим выражение относительной объемной деформации: ϑ = 1 −E2μ (σx +σ y +σz ) (2.22).

Выражение (2.22) показывает, что касательные напряжения не приводят к изменению объема и что коэффициент Пуассона не может быть больше 0.5. При μ =0.5 изменения объема не будет.

Удельная потенциальная энергия деформации. В общем случае на-

гружения тела по граням элемента с размерами ребер dx,dy,dz будут

действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента

12

dx=εxdx

Если выразить компоненты деформаций через компоненты напряжений с помощью уравнений (2.18), (2.19) обобщенного закона Гука, то вы-

нормальное (гидростатическое) напряжение.

Представление тензора напряжений в виде суммы двух тензоров равносильно представлению данного напряженного состояния в виде суммы двух напряженных состояний.

Удельная потенциальная энергия деформации при всестороннем растяжении с напряжением σm определяется из уравнения (2.25):

13

потенциальной энергией изменения объема, так как изменение объема зависит только от суммы нормальных напряжений (см. уравнение (2.22)).

Удельная потенциальная энергия деформации для элемента, по граням которого действуют компоненты девиатора напряжений, определяется после соответствующих преобразований из следующего уравнения

(2.29) и называется удельной потенциальной энергией изменения формы.

Очевидно, что удельная потенциальная энергия изменения формы в случае всестороннего растяжения с компонентами шарового тензора равна нулю. Точно также удельная потенциальная энергия изменения объема для элемента с компонентами девиатора напряжений равна нулю.

2.3. Теории прочности

Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности. Для определения напряжен-

ного состояния в какой-нибудь точке тела, нужно вокруг этой точки выделить элементарный параллелепипед. По граням этого параллелепипеда, в общем случае, будут действовать нормальные и касательные, напряжения. Зная эти напряжения, всегда можно найти главные напряжения и главные площадки. Напряженное состояние в каждой точке тела, в конечном счете, будет определяться тремя главными напряжениями σ1, σ2 , σ3 .

Если во всех точках тела будет один и тот же тип напряженного состояния, то будет иметь место однородное напряженное состояние тела. Линейное напряженное состояние называют простым напряженным состоянием, плоское и объемное напряженное состояние - сложным. Тип напряженного состояния нельзя отождествлять с одноименным видом деформации; так при линейном напряженном состоянии могут происходить объемные деформации.

Гипотезы (теории) прочности. Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения. Опыт показывает, что поведение материалов, т. е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений. Поэтому, чтобы судить о прочности материала при сложном напряженном состоянии, нужно предварительно знать - в какой момент при той или иной комбинации главных напряжений наступает опасное состояние материала.

При простом напряженном состоянии ответ на этот вопрос дают диаграммы растяжения или сжатия получаемые при механических испытаниях. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий

14

материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а эксперименты при сложном напряженном состоянии технически очень сложны. Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие. В связи с этим возникает задача: зная максимально допустимые напряжения при простом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является установление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют со-

бой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. Под предель-

ным состоянием в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

Условимся рассматривать такие случаи напряженного состояния, когда все нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, вплоть до наступления предельного напряженного состояния, при этом главные напряжения также возрастают пропорционально. Такое нагружение называется простым.

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоянии называется число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или σ1, σ2 , σ3 ), чтобы данное напряженное со-

стояние стало предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны. Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным рассматриваемому напряженному состоянию.

15

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном со-

стоянии условие прочности при простом растяжении: (σэкв) ≤[σ]р (2.30).

Условие наступления предельного состояния имеет следующий вид:

(σэкв) =σТ или (σэкв) =σв (2.31).

Критерии разрушения. Критерии разрушения представляют собой меру напряженного состояния, определяющую условия перехода материала в предельное состояние, то есть в состояние разрушения.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочно-

сти, Галилей, 1638 г.). В основу теории наибольших нормальных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений. Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном

состоянии наступает тогда, когда наибольшее из главных напряжений достигает величины, соответствующей пределу прочности при про-

стом растяжении. В этом случае условие прочности должно иметь вид:

летворительно согласуется с результатами испытания деталей из хрупких материалов, таких как камень, кирпич, чугун. Для расчета деталей из пластичных материалов данная гипотеза непригодна.

Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочно-

сти, Мариотт, 1682 г.) В основу теории наибольших линейных деформаций положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала

при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

Максимальные относительные деформации в соответствии с обобщенным законом Гука (2.18): εmax = ε1 = E1 [σ1 − μ (σ2 +σ3 )] (2.32) - при

растяжении; εmax = ε3 = E1 [σ3 − μ (σ2 +σ1 )] (2.33) - при сжатии.

При простом растяжении предельное значение относительной деформа-

[σ1 − μ (σ2 +σ3 )]=σв (2.35).

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (2.31), по-

16

Из (2.36), (2.37) вытекает, что простое растяжение более опасно, нежели сложное. Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория проч-

ности; Кулон, 1773 год). В основу теории наибольших касательных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине касательных напряжений. Согласно данной тео-

рии прочности опасное состояние материала при сложном напряжен-

ном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из касательных напряжений достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии: τmax = σ1 −2σ3 (2.38). Пре-

дельное значение максимальных касательных напряжений при растяже-

имеем: τmax = (τmaxp )пред или условие наступления предельного состояния: σ1 −σ3 =σТ (2.40). Сравнивая с условием наступления предельного состояния (2.31), получим эквивалентное напряжение по III теории прочно-

сти: (σэкв )III =σ1 −σ3 (2.41).

Условие прочности в соответствии с (2.30) имеет следующий вид:

(σэкв )III =σ1 −σ3 ≤[σ] (2.42).

Условие (2.40) достаточно хорошо описывает начало пластических деформаций для изотропных средне и высокопластичных материалов, поэтому данная теория широко применяется для расчета деталей из металлических материалов.

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.). В ос-

нову энергетической теории прочности положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала

при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением: uф = 16+Eμ (σ1 −σ2 )2 +(σ1 −σ3 )2 +(σ2 −σ3 )2 .

17

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении: ( uфр )пред = 13+Eμ σТ2 (2.43). На основании сформулированной гипотезы, условие наступления предельного состояния:

(2.44).

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (8.2), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:

Условие прочности в соответствии с (8.1) имеет следующий вид:

Четвертая теория прочности, лучше, чем третья, согласуется с результатами испытания изотропных, достаточно пластичных материалов, поэтому она широко применяется при расчете деталей из металлических материалов.

Недостатками III-ей и IV-ой теорий прочности являются их несоответствие результатам разрушения малопластичных и хрупких материалов, кроме того, обе эти теории качественно неверно описывают поведение материалов в напряженных состояниях близких к всестороннему растяжению.

Теория прочности Мора (V теория прочности). Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии присущее, как правило, малопластичным и хрупким материалам. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных

Очевидно, что достоинством теории прочности Мора является ее большая универсальность, для пластичных материалов дает такие же результаты, как и III-я теория прочности, кроме того, может быть применена для расчета малопластичных и хрупких материалов.

18

2.4.Расчет осесимметричных тонкостенных оболочек по безмоментной теории

Геометрия тонкостенной оболочки и предположения, принимае-

мые при ее расчете. Будем говорить, что тело симметрично относительно оси, если любая плоскость, проходящая через эту ось (осевая плоскость), является плоскостью его силовой и геометрической симметрии.

Обычно оболочка задается своей срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой является поверхностью вращения, называется оболочкой вращения. Рассмотрим такую оболочку (рис. 2.7, а). Назовем: осью оболочки - ось поверхности вращения; меридиональным сечением - сечение оболочки плоскостью проходящей через ее ось; окружным (коническим) сечением - сечение оболочки конической поверхностью, нормальной к ее срединной поверхности, вершина которой лежит на оси; меридианом - линию пересечения срединной поверхности с осевой плоскостью; параллелью - линию пересечения срединной поверхности с названной выше конической поверхностью.

Рис.2.7

Обозначим: ρm - радиус кривизны меридиана (рис. 2.7, б); ρt - отре-

зок нормали к срединной поверхности, заключенной между срединной поверхностью и осью оболочки; O1 - центр кривизны меридиана; O2 - центр

кривизны окружного сечения, лежащий на оси оболочки; t - толщину оболочки; p = p (S ) - давление, которое должно изменяться только в направ-

лении меридиана, чтобы оболочка была осесимметричной; S - координата, отсчитываемая в направлении меридиана. Давление на внутреннюю поверхность оболочки считается положительным, давление на наружную поверхность - отрицательным. Радиус ρm и отрезок ρt являются главными

радиусами кривизны срединной поверхности в данной точке. Если центр

19

кривизны меридиана расположен снаружи оболочки, то ρm считается от-

рицательным. Предполагаем, что:

1)оболочка тонкостенная, т. е. ρmin / t ≥ 20 , где ρmin — наименьший из главных радиусов кривизны;

2)давление изменяется в направлении меридиана достаточно плавно, в частности к оболочке не прикладываются сосредоточенные силы;

3)меридиан не имеет резких изменений кривизны, в частности, изломов; 4} опорные устройства оболочки таковы, что реактивные силы направлены по касательной к меридиану;

5)оболочка непологая, т. е. (рис. 2.7, б) d / h ≤ 6 .

Вывод формулы Лапласа. Двумя бесконечно близкими меридиональными и двумя бесконечно близкими окружными сечениями вырезаем из оболочки элемент ABCD и рассматриваем его равновесие (рис. 2.8). Если принятые предположения выполняются, то нормальные напряжения, действующие по граням элемента, можно считать распределенными по толщине равномерно. Состояние оболочки, при котором напряжения распределяются по ее толщине равномерно, называется безмоментным, а теория расчета такой оболочки - безмоментной. Обозначим: σm — меридиональ-

ное напряжение; σt — окружное напряжение.

В силу осевой симметрии касательные напряжения по граням элемен-

20

Проекция сил давления, распределенных по поверхности элемента,

равна pρmdθmρtdθt (2.51). Складывая (2.49), (2.51), (2.50) и приравнивая

Лапласа.

В практическом расчете σm определяется из условия равновесия от-

сеченной окружным (коническим) сечением части оболочки. На рис. 2.9 показано сечение произвольной оболочки окружным коническим сечением радиуса ρt и углом при вершине конуса 2ϕ . Суммарная проекция давле

ния действующего на поверхность отсеченной части на ось оболочки на рис. 2.9 обозначена P . Суммарная проекция меридионального напряжения на ось оболочки равна −σm 2πρt sinϕ t cos (90°−ϕ)= −σm 2πρt sin2 ϕ t .

Из условия равновесия отсеченной части оболочки по ее оси выража-

Проекция сил давления, равномерно распределенных по

поверхности, на произвольную осьZ равна давлению, умноженному на проекцию этой поверхности, на плоскость перпендикулярную оси Z .

Теорема II. Проекция сил на вертикаль (направление силы тяжести), гидростатического давления жидкости на некоторую поверхность, равна весу столба жидкости над этой поверхностью.

Расчет осесимметричных тонкостенных оболочек по безмоментной теории широко используется в инженерной практике. Например, большинство труб нагруженных внутренним или внешним давлением жидкости или газа являются тонкостенными и рассчитываются по рассмотренной выше теории.

21