- •Кафедра информатики математика ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
2.2. Метод трапеций
Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что
xi+1 - xi = h =, i = 1, 2, …, n.
На каждом отрезке (xi, xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).
Рис. 2.5
Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:
=
==
=[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xn)]=
=[f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xb)]=
=[ f(xa) + f(xb) + ]. (7)
Таким образом, формула трапеций имеет вид:
I = ≈ .(8)
Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.
Пример (продолжение). □Пользуясь формулой трапеций, вычислить приh = 0,2.
Решение. Вычисление интеграла методом трапеций (8) выполним в таблицеExcel (рис. 6, 6-а).
Режим решения
Рис. 6
∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98
Режим показа формул
Рис. 6 - а
Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).
Рис. 7
∑ =
-0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45
I
= 0,05∙ [(0 -1) + 2∙(-9,45) = -1,00■
2.3. Метод парабол (Симпсона)
Для получения формулы парабол функция f(x) на интервале (xi, xi+1) заменяется параболой, проходящей через три точки кривой с абсциссами
xi, (xi +xi+1)/2, xi+1 (xi, xi+h, xi+2h) (рис. 2.8).
Весь интервал интегрирования при этом разбивается на четное число отрезков (n = 2m).
Рис. 8
Формула парабол имеет вид:
I = ≈
Пример. □Пользуясь формулой парабол, вычислить приn = 10.
Решение.
h = Вычисление интеграла выполним в таблицеExcel (рис. 9, 9-а).
Режим решения
Рис. 9
∑1 = -0,37- 0,93-1,25-1,32-1,17 = -5,05 ∑2 = -0,68 -1,12 -1,32-1,28 = -4,4
∑ = (0- 1) + 4·(-5,05) +2·(-4,4) = -30,00 ∫ = 0,033 · (-30) = 1.
Режим формул
Рис. 9 - а
3. Порядок выполнения работы
1. Вычислить интеграл индивидуального задания всеми описанными методами в Excel с числом шагов, равным 5. При реализации решения в Excel увеличить число шагов в два раза, в три раза. Сравнить результаты вычислений, полученные при использовании данных методов с точным решением.
Лабораторная работа 5
Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера
1. Цель работы
Изучение метода Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений.
2. Основные теоретические положения
Решить дифференциальное уравнение y' = f(x, y) численным методом –значит для заданной последовательности аргументов x0, x1, …, xn и числа y0, не определяя функцию y = F(x), найти такие значения у1, у2, …, yn, что yi = F(xi) (i = 1, 2, …, n) и F(x0) = y0. Другими словами, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F(x), получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk – xk-1 называется шагом интегрирования.
Для решения данной задачи используются различные численные методы, среди которых наиболее простым является метод Эйлера.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y' = f(x, y) (1)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0.
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность x0, x1, …, xn, где xi = x0 + i·h (i = 1, 2, …, n), а h = (b – a)/n – шаг сетки. Величина h = ∆ xm = xm+1 - xi обычно выбирается постоянной и достаточно малой. При численном решении задачи вычисляются приближенные значения yi (xi) ≈ yi в узлах сетки xi (i = 1, 2, …, n).
Идея метода состоит в том, что при малом шаге сетки h производная искомой функции y'(xi) может быть приближенно заменена конечными разностями
(2)
где yi – значение функции в узле xi.
Тогда y'(xi)∙h = yi+1 - yi, отсюда yi+1 = yi+ y'(xi)∙h, а, так как y'(xi) = f(xi, yi), то
yi+1 = yi + h·f(xi,yi). (3)
Т.е. на каждом отрезке [xi, xi+1] выражение (1) можно заменить приближенным выражением (3).
Зная начальное значение y0, и используя соотношение (3), можно последовательно от узла xi к узлу xi+1 определить все искомые значения yi+1.
На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2 и
т.д.
Для достижения требуемой точности ε численного решения необходимо выполнение условия: |y2n - yn| < ε.
Пример 1. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений решения дифференциального уравнения
с начальными условиями x0 = 0, y0 = 1, выбрав шаг h = 0,2.
Решение.
Результаты вычислений представим в таблице Excel (рис.1). Заполняется она следующим образом:
1) В первую строку, соответствующую значению i = 0, запишем начальные условия: x0 = 0, y0 = 1. По ним вычислим значение f(x0, y0):
а затем значение ∆y0. Из (2) и (1) имеем
∆y0 = y'(x0)∙ ∆x0 = y'(x0)∙h = f(x0, y0) ∙h,
следовательно, ∆y0 = h∙f(x0, y0) = 0,2∙1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i = 0 получим
y1 = y0 + h∙f(x0, y0) = y0+ ∆y0 = 1 + 0,2 = 1,2.
2) Значение x1 = x0 + h = 0 + 0,2 = 0,2 и соответствующее ему значение y1 =1,2 запишем во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1.
Для x1 = 0,2 и y1 = 1,2 вычислим f(x1, y1).
Затем вычислим ∆y1 = h∙f(x1, y1) = 0,2∙0,8667 = 0,1733.
Тогда по формуле (3) для i = 1 получим
y2 = y1 + h∙f(x1, y1) = y1+ ∆y1 = 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.
3) Значения x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4 и соответствующее ему значение y2 =1,3733 запишем в третью строку таблицы (i = 2).
Аналогично следует выполнить вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).●○
Режим формул
Режим решения
Рис. 1
Метод Эйлера легко распространяется на решение дифференциальных уравнений высших порядков. Для этого такое дифференциальное уравнение надо предварительно привести к дифференциальному уравнению первого порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение
y'' = f(x, y, y') (4)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0, у'(x0) = y'0.
Требуется найти решение уравнения (4) на отрезке [a, b].
С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (4) системой уравнений
и (5)
Таким образом, f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = f(x, y, z) и задачу можно записать в общем виде:
и (6)
Аналогично можно свести к системе дифференциальных уравнений и уравнения более высокого порядка.
Пример 2. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения дифференциального уравнения
(7)
с начальными условиями y = 0,77, y' = -0,44 и выбрав шаг h = 0,1.
Решение. С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (7) системой уравнений
y' = z,
с начальными условиями y0(1) = 0,77 и z0 = -0,44.
Таким образом,
f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) =
Результаты вычислений по формулам (6) запишем в таблице Excel (рис. 2). Заполняется она следующим образом:
в первую строку i = 0 запишем начальные условия: x0 = 1,0, y0 = 0,77, z0 = -0,44.
Используя их, вычислим
f10(x0, y0, z0) = z0 = -0,44,
f20(x0, y0, z0) =
а затем
∆y0 = h∙f10 = 0,1∙(-0,44) = -0,044, y1 = y0 + ∆y1 = 0,77 + (-0,044) = 0,726,
∆z0 = h∙f20 = 0,1∙(-0,33) = -0,033, z1 = z0 + ∆z1 = -0,44 + (-0,033) = -0,473.
Таким образом, во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1, можно записать:
y1 = 0,726, z1 = -0,473.
По этим значениям можно вычислить
f11(x1, y1, z1) = z1 = -0,473,
f21(x1, y1, z1) =
а затем
∆y1 = h∙f11 = 0,1∙(-0,473) = -0,047, y2 = y1 + ∆y1 = 0,726 + (-0,047) = 0,679,
∆z1 = h∙f21 = 0,1∙(-0,296) = -0,030, z2 = z1 + ∆z1 = -0,473 + (-0,030) =-0,503.
Аналогично следует выполнять вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 2).●
Режим формул
Режим решения
Рис. 2